Решебник по геометрии за 10 класс к учебнику Геометрия. 10-11 класс Л.С.Атанасян
Все главы

Введение

• 1. По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC; г) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DC
• 2. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC1 и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА1; в) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и ВР с плоскостью А1В1С1; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и ACD, Р
• 3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
• 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.
• 5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?
• 6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
• 7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
• 8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
• 9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.
• 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника?
• 11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
• 12. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?
• 13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?
• 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
• 15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости.

• 16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α.
• 17. На рисунке 17 точки М, N, Q и Р — середины отрезков DB, DC, АС и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см, ВС =14 см.
• 18. Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ1=7 см; б) АС:
• 19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.
• 20. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α? Ответ обоснуйте.
• 21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.
• 22. Точки А и В лежат в плоскости а, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости α.
• 23. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВМ.
• 24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.
• 25. Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.
• 26. Сторона АС треугольника ABC параллельна плоскости* α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.
• 27. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС = 4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E, и найдите отрезок BE
• 28. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что DE = 5 см и BD/DA=2/3. Плоскость α проходит через точки B и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.
• 29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К — середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке Н, и найдите отрезок КН.
• 30. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости α.
• 31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость α проходит также через середину стороны АС.
• 32. Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.
• 33. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.

Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

• 34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: a) ND и АВ; б) РК и ВС; в) MN и АВ; г) МР и АС; д) KN и AC; е) MD и ВС.
• 35. Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.
• 36. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а. Докажите, что b и с — скрещивающиеся прямые.
• 37. Прямая m пересекает сторону АВ треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и ВС, если: а) прямая m лежит в плоскости ABC и не имеет общих точек с отрезком АС; б) прямая m не лежит в плоскости ABC?
• 38. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С — прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и CD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые.
• 39. Докажите, что если АВ и CD скрещивающиеся прямые, то AD и ВС также скрещивающиеся прямые.
• 40. На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки М и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость α, а через прямую b и точку М — плоскость β. а) Лежит ли прямая b в плоскости α? б) Пересекаются ли плоскости α и &
• 41. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.
• 42. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости, а) Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК. б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, EK = 27,5 см.
• 43. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника* являются вершинами параллелограмма.
• 44. Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD, если: а) ∠АОВ = 40°; б) ∠АОВ= 135°; в) ∠АОВ = 90°.
• 45. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.
• 46. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: a) m и АС — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними; б) m и AD — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними, если ∠ABC=128°.
• 47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.

Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §3 Параллельность плоскостей

• 48. Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки.
• 49. Прямая m пересекает плоскость α в точке В. Существует ли плоскость, проходящая через прямую m и параллельная плоскости α?
• 50. Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.
• 51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.
• 52. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.
• 53. Три отрезка А1А2 В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.
• 54. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.
• 55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную плоскости α.
• 56. Плоскости α и β параллельны, А — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.
• 57. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая а либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.
• 58. Докажите, что если плоскость γ пересекает одну из параллельных плоскостей α и β, то она пересекает и другую плоскость.
• 59. Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости α, проходит плоскость, параллельная плоскости α, и притом только одна.
• 60. Две плоскости &alpha и β параллельны плоскости γ. Докажите, что плоскости &alpha и β параллельны.
• 61. Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.
• 62. Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями, расположенными в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых?
• 63. Параллельные плоскости &alpha и β пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках A1 и A2, а сторону АС этого угла — соответственно в точках В1 и В2. Найдите: а) АА2 и АВ2, если A1A2 = 2A1A, A1A2=12 см, АВ1 =5 см; б) А2В2 и AA2, если A1B1
• 64. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках A1, B1 и C1 а другую — в точках A2, B2 и C2. Докажите, что треугольники A1B1C1 и А2В2С2 подобны.
• 65. Параллельные отрезки А1А2, В1В2 и С1С2 заключены между параллельными плоскостями α и β (рис. 32). а) Определите вид четырехугольников A1B1B2A2, B1C1C2B2 и A1C1C2A2. б) Докажите, что ΔA1B1C1 = ΔА2В2С2.

Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §4 Тетраэдр и параллелепипед.

• 66. Назовите все пары скрещивающихся (т.е: принадлежащих скрещивающимся прямым) ребер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр?
• 67. В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA =90°, DA=20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.
• 68. Точки М и N — середины ребер АВ и АС тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.
• 69. Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.
• 70. Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.
• 71. Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости АВС; б) прямой KN и плоскости ABD.
• 72. Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости грани ABC, если: а) точка М является серединой ребра AD; б) точка М лежит внутри грани ABD.
• 73. В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС=10 см, BD= 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP.
• 74. Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника A
• 75. Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, МА и МК, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь
• 76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC||A1C1 и BD||B1D1.
• 77. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если известно, что AB/BC=4/5, BC/BB1=5/6.
• 78. На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1, на ребрах которого отмечены точки М, N, М1 и N1 так, что AM = CN=A1M1 = C1N1. Докажите, что MBNDM1B1N1D1 — параллелепипед.
• 79. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение: а) плоскостью АВС1; б) плоскостью АСС1. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.
• 80. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями АВС1 и DCB1, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.
• 81. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки М и N соответственно на ребрах BB1 и CC1. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC; б) прямой AM с плоскостью A1B1C1.
• 82. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку М грани АА1В1В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани ВВ1С1С; в) плоскости BDD1.
• 83. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости АВ1С1.
• 84. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.
• 85. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра АА1, a L — середина ребра СС1. Докажите, что построенное сечение— параллелограмм.
• 86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD1. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы АВВ1 и СВВ1 прямые, то построенное сечение — равно
• 87. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах: а) ВВ1, АА1, AD1 б) СС1, AD, ВВ1.

Вопросы к главе I Параллельность прямых и плоскостей.

• 1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?
• 2. Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? Сколько из этих прямых параллельны прямой а?
• 3. Прямые а и с параллельны, а прямые а и b пересекаются. Могут ли прямые b и с быть параллельными?
• 4. Прямая а параллельна плоскости α. Верно ли, что эта прямая: а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α; в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости α?
• 5. Прямая а параллельна плоскости α. Сколько прямых, лежащих в плоскости α, параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости α?
• 6. Прямая а пересекает плоскость α. Лежит ли в плоскости а хоть одна прямая, параллельная α?
• 7. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?
• 8. Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?
• 9. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться? б) быть скрещивающимися?
• 10. Могут ли скрещивающиеся прямые a и b быть параллельными прямой с?
• 11. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость трапеции?
• 12. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость параллелограмма?
• 13. Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями?
• 14. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?
• 15. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?
• 16. Какие многоугольники могут получиться в сечении: а) тетраэдра; б) параллелепипеда?

Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей.

• 88. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость α соответственно в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости α, AС = 8 см, BD = 6 см, АВ = 4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость α в некоторой точке
• 89. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников ABC и CBD пересекаются соответственно в точках M1 и М2. Докажите, что отрезки AD и М1М2 параллельны.
• 90. Вершины А и В трапеции ABCD лежат в плоскости α, а вершины С и D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая CD относительно плоскости α, если отрезок АВ является: а) основанием трапеции; б) боковой стороной трапеции?
• 91. Через каждую из двух параллельных прямых a и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым a и b.
• 92. Плоскость α и прямая a параллельны прямой b. Докажите, что прямая a либо параллельна плоскости α, либо лежит в ней.
• 93. Прямые а и b параллельны. Через точку М прямой a проведена прямая MN, отличная от прямой а и не пересекающая прямую b. Каково взаимное расположение прямых MN и b?
• 94. Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскости, каждая из которых проходит через одну из прямых и точку В? Ответ обоснуйте.
• 95. Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что если плоскость β пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость α.
• 96. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной ей прямой, равны.
• 97. Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°.
• 98. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости α? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.
• 99. Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.
• 100. Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.
• 101. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• 102. Докажите, что плоскость α, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если длины всех ре
• 103. На ребрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р так, что DM:MA = DN:NB = DP:PC. Докажите, что плоскости MNP и ABC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ABC равна 10 см2 и DM: МА = 2:1.
• 104. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и BD.
• 105. Изобразите тетраэдр DABС и отметьте точки М и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
• 106. Изобразите тетраэдр DABС, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней ABC и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
• 107. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани BDC.
• 108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и C1. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и CC1 пересекаются в одной точке.
• 109. Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым ребрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.
• 110. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 плоскость A1DB параллельна плоскости D1CB1.
• 111. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.
• 112. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.
• 113. По какой прямой пересекаются плоскости сечений A1BCD1 и BDD1B1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1?
• 114. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости АСС1.
• 115. Точка М лежит на ребре ВС параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости BDC1.

Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости

• 116. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC⊥B1C1, и AB⊥A1D1 если ∠BAD =90°; б) АВ⊥СС1 и DD1⊥A1B1, если AB⊥DD1.
• 117. В тетраэдре ABCD известно, что BC⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где М и N — середины ребер АВ и АС.
• 118. Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠AOB, ∠MOC, ∠DAM, ∠DOА, ∠BMO?
• 119. Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что: a) AB = DB; б) AB=AC, если ОВ=ОС; в) OB = OC, если АВ=АС.
• 120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОK = b.
• 121. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC, причем СК = 12 см. Найдите КМ.
• 122. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ = 16 √3 см, ОK = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин А
• 123. Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.
• 124. Прямая PQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках P1и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.
• 125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках Р1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 см, РР1 = — 21,5 см, QQ1=33,5 см.
• 126. Прямая MB перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника ABC. Определите вид треугольника MBD, где D — произвольная точка прямой АС.
• 127. В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что CD⊥AC.
• 128. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, MB = MD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.
• 129. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО; б) MO⊥BD.
• 130. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая ВМ. Известно, что ∠MBA = ∠MBC=90°, МВ =m, АВ = n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и BD.
• 131. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС, АВ = AC, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.
• 132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.
• 133. Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
• 134. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а.
• 135. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b II α.
• 136. Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.
• 137. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

• 138. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен φ. а) Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклон
• 139. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.
• 140. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. Известно, что ∠OAB= ∠BAС = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
• 141. Один конец данного отрезка лежит в плоскости ос, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости а.
• 142. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α.
• 143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.
• 144. Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что все точки прямой а равноудалены от плоскости α.
• 145. Через вершину А прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника, а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный, б) Найдите BD, если ВС = а, DC =b.
• 146. Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости αчерез точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только одна.
• 147. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные.
• 148. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC, М — середина стороны ВС. Докажите, что MK⊥BC.
• 149. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что АВ =АС = 5 см, ВС= 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.
• 150. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, КВ = 7 см, КС=9 см. Найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD; б) расстояние между прямыми АК и CD
• 151. Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Докажите, что: а) треугольник ABC является проекцией треугольника ABD на плоскость АВС; б) если CH — высота треугольника ABC, то DH — высота треугольника ABD.
• 152. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.
• 153. Докажите, что прямая а, проведенная в плоскости а через основание М наклонной AM перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции НМ (см. рис. 53).
• 154. Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС=10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой AC; б) площадь треугольника ACD.
• 155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2 √7 см.
• 156. Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен т, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен φ. Через вершину прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = n. Найдите расстояние от точки D д
• 157. Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны, б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.
• 158. Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если AB = 25 см, ∠BAD = 60°, BM =12,5 см.
• 159. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADM и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.
• 160. Концы отрезка АВ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, причем d<AB. Докажите, что проекции отрезка АВ на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если АВ = 13 см, d=5 см.
• 161. Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если ∠АВС= ∠ABD, причем ∠ABC < 90°, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.
• 162. Прямая MA проходит через точку А плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ0≠90°. Докажите, что φ0 является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.
• 163. Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен: а) 45°; б) 60°; в) 30°?
• 164. Под углом φ к плоскости α проведена наклонная. Найдите φ, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.
• 165. Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120°. Найдите ВС.

Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

• 166. Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой MN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости α. Докажите, что ∠ABC — линейный угол дву
• 167. В тетраэдре DABС все ребра равны, точка М— середина ребра АС. Докажите, что ∠DMB—линейный угол двугранного угла BACD.
• 168. Двугранный угол равен φ. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
• 169. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.
• 170. Из вершины В треугольника ABC, сторона АС которого лежит в плоскости а, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ = 2 см, ∠ВАС= 150° и двугранный угол ВАСВ1 равен 45°.
• 171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости а, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.
• 172. Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС = 5 см, АВ = 13 см.
• 173. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, АВ = ВС = АС = 6, BD = 3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.
• 174. Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB прямые, AC = СВ = 5, DB = 5√5.
• 175. Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.
• 176. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если ∠BAD = 45° и расстояние от точки В до плоскости ADM равно 4√3.
• 177. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
• 178. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости β.
• 179. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости α проведена прямая, перпендикулярная к плоскости β. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости α.
• 180. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
• 181. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и MB соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что MC⊥a.
• 182. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры MA и MB к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. а) Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником,
• 183. Плоскости α и β пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости γ. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости γ.
• 184. Общая сторона АВ треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ.
• 185. Прямая а не перпендикулярна к плоскости α. Докажите, что существует плоскость, проходящая через прямую а и перпендикулярная к плоскости α.
• 186. Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярная к каждой из них.
• 187. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39. 7, 9.
• 188. Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.
• 189. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m; б) диагональ куба равна d.
• 190. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите следующие двугранные углы: а) АВВ1С;б) ADD1B; в) А1ВВ1К, где К — середина ребра A1D1.
• 191. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскости АВС1 и A1B1D1 перпендикулярны.
• 192. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
• 193. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 дано: D1B = d, АС = m, АВ=n. Найдите расстояние между: а) прямой A1C1 и плоскостью ABC; б) плоскостями ABB1 и DCC1; в) прямой DD1 и плоскостью АСС1;
• 194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.
• 195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС1 = 12 см и диагональ BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол в 30°, а с ребром DD1 — угол в 45°.
• 196. Изобразите куб ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости BB1D1; б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости CDA1.

Вопросы к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей.

• 1. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?
• 2. Параллельные прямые b и c лежат в плоскости α, а прямая а перпендикулярна к прямой b. Верно ли утверждение: а) прямая а перпендикулярна к прямой с; б) прямая а пересекает плоскость α?
• 3. Прямая а перпендикулярна к плоскости α, а прямая b не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые а и b быть параллельными?
• 4. Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые а и b взаимно перпендикулярны?
• 5. Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым a и b?
• 6. Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?
• 7. Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?
• 8. Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?
• 9. Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?
• 10. Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?

Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей.

• 197. Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости MBС.
• 198. Точка А лежит в плоскости α, а точка В удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок АВ в отношении 4:5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
• 199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.
• 200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.
• 201. Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ.
• 202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5 см?
• 203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС =12 см, ОК = 4 см.
• 204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых АВ, ВС и СA; б) длину окружно
• 205. Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СA =3 дм, СВ = 2 дм, CD= 1 дм.
• 206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину A меньшего угла треугольника проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки M до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что
• 207. В треугольнике ABC дано: АВ = ВС = 13 см, AС = 10 см. Точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8⅔ см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.
• 208. Из точки К, удаленной от плоскости α на 9 см, проведены к плоскости α наклонные KL и КМ, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью α — углы в 45° и 30° соответственно. Найдите отрезок LM.
• 209. Углы между равными отрезками АВ и АС и плоскостью α, проходящей через точку А, равны соответственно 40° и 50°. Сравните расстояния от точек В и С до плоскости α.
• 210. На рисунке 66 двугранные углы НАВР и PABQ равны. Докажите, что каждая точка плоскости АВР равноудалена от плоскостей АВН и ABQ.
• 211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, если КМ = а.
• 212. Точка С является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ABD равна S/cosα, где S — площадь треугольника ABC, а α — угол между плоскостями ABC и ABD.
• 213. Правильные треугольники ABC и DBC расположены так, что вершина D проектируется в центр треугольника ABC. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.
• 214. Проекцией прямоугольника ABCD на плоскость α является квадрат ABC1D1. Вычислите угол φ между плоскостью α и плоскостью прямоугольника ABCD, если АВ:ВС = 1:2.
• 215. Параллельные прямые АВ и CD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки А и D удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.
• 216. Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°. Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок CD, если AB=AC = BD = a.
• 217. Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

Глава III Многогранники. §1 Понятие многогранника. Призма.

• 218. Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани — прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники.
• 219. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.
• 220. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.
• 221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.
• 222. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.
• 223. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 √2 см2. Найдите ребро куба и его диагональ.
• 224. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4 √2 см.
• 225. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.
• 226. В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота равна 4 см.
• 227. Основание призмы — правильный треугольник ABC. Боковое ребро АА1 образует равные углы со сторонами основания АС и АВ. Докажите, что: а) ВС⊥АА1; б) СС1В1В — прямоугольник.
• 228. Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором АС = АВ= 13 см, BС=10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А1 является точка пересечения медиан треугольника
• 229. В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей призмы, если: а) n = 3, а=10 см, h= 15 см; б) n = 4, а= 12 дм, h = 8 дм; в) n = 6, а =23 см, h = 5 дм; г) n = 5, а = 0,4 м, h =
• 230. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120°, между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
• 231. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений* равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
• 232. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с меньшей боковой гранью — угол α. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
• 233. Основанием прямой призмы АВСA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение BB1D1D, перпендикулярное к плоскости грани АA1C1C. Найдите площадь сечения, если AA1 = 10 см, AD = 27 см, DC= 12 см.
• 234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см.
• 235. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол Θ с плоскостью основания. Найд
• 236. Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения** на боковое ребро.
• 237. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
• 238. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Глава III Многогранники. § 2. Пирамида

• 239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
• 240. Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
• 241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
• 242. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найд
• 243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого АВ = АС= 13 см, ВС=10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
• 244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
• 245. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.
• 246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание; б) Найдите площадь основания пирамиды, е
• 247. Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды рав
• 248. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
• 249. В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.
• 250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды.
• 251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС = 10 см.
• 252. Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = АС, ВС=6 см, высота АН равна 9 см. Известно также, что DA = DB = DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.
• 253. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4√6 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.
• 254. В правильной Треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основа
• 255. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен φ. Найдите высоту пирамиды.
• 256. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) угол Между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирами
• 257. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.
• 258. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.
• 259. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.
• 260. В правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC и высоту DO пирамиды проведена плоскость α. Докажите, что: а) ребро АВ перпендикулярно к плоскости α; б) перпендикуляр, проведенный из вершины С к апофеме грани ADB, является п
• 261. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны.
• 262. Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.
• 263. В правильной пирамиде MABCD точки К, L и N лежат на ребрах ВС, МС и AD, KN||BA, KL||BM. а) Покройте сечение пирамиды плоскостью KLN и определите вид сечения. б) Докажите, что плоскость KLN параллельна плоскости АМВ.
• 264. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.
• 265. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна 12 см.
• 266. Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.
• 267. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.
• 268. Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 дм, а площадь ее полной поверхности равна 186 дм2. Найди
• 269. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.
• 270. Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Глава III Многогранники. § 2. Пирамида ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

• 271. На рисунке 88 изображена развертка правильного тетраэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе. вырежьте развертку и склейте из нее тетраэдр*.
• 272. На рисунке 89 изображена развертка куба. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее куб.
• 273. На рисунке 90 изображена развертка правильного октаэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее октаэдр.
• 274. На рисунке 91 изображена развёртка правильного додекаэдра. Перерисуйте её на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее додекаэдр.
• 275. На рисунке 92 изображена развертка правильного икосаэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее икосаэдр.

Глава III Многогранники. § 2. Пирамида ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

• 276. Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок?
• 277. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) правильный треугольник; в) куб?
• 278. Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырехугольная призма, отличная от куба; б) правильная четырехугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида?

Глава III Многогранники. § 3. Правильные многогранники

• 279. Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.
• 280. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.
• 281. В кубе ABCDA1B1C1D1 из вершины D1 проведены диагонали граней D1A, D1C и D1B1 и концы их соединены отрезками, Докажите, что многогранник D1AB1C—правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.
• 282. Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 82).
• 283. В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани BDC; б) перпендикулярно к ребру AD.
• 284*. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают правильный тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?
• 285. Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.
• 286. В правильном тетраэдре h — высота, m — ребро, а n — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) m через h; б) n через m.
• 287. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями.
• Вопросы к главе III

Глава III Многогранники. Дополнительные задачи

• 288. Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3.
• 289. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d — диагональ куба.
• 290. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.
• 291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол Θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
• 292. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
• 293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.
• 294. Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, содержащей две ее диагонали. Площадь полученного сечения равна So, а сторона основания равна а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
• 295. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб. Боковое ребро СС1 составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CC1⊥BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BD⊥АА1С1; г) плоскости АА1С1 и BB1D1 взаимно
• 296. Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость α, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол φ. Найдите площадь с
• 297. Основанием треугольной призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина А1 проектируется в его центр. Докажите, что: a) A1BD⊥АА1С1; б) АА1O⊥ВВ1С; в) грань ВВ1С1С — прямоугольник.
• 298. Основанием параллелепипеда с боковым ребром b является квадрат со стороной с. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
• 299. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна т, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.
• 300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна с, боковое ребро равно b.
• 301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины B до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.
• 302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см к 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
• 303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее вы
• 304. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
• 305. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
• 306. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
• 307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.
• 308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см,проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты граней пирамиды.
• 309. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.
• 310. В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ=АС = 25 см, BC = 40 см, АН = 8 см, где АН — высота пирамиды.
• 311. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС= 13 см, АВ = 15 см, СВ= 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. б) Докажите, что основание перпендикуляр
• 312. В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол φ. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.
• 313. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
• 314. В правильной четырехуголькой усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7:3. Найдите стороны оснований пирамиды.
• 315. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
• 316. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.
• 317. Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.
• 318. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.
• 319. Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину, имеет правильный тетраэдр?

Глава IV. Векторы в пространстве § 1. Понятие вектора в пространстве

• 320. В тетраэдре ABCD точки М, N и К— середины ребер АС. ВС и CD соответственно, АВ =3 см, ВС = 4 см, BD=5 см. Найдите длины векторов: а) АВ, ВС, BD, NM, BN, NK; б) СВ, BA, DB, NC, KN.
• 321. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 таковы: AD = 8 см. АВ = 9 см и АА1 — 12 см. Найдите длины векторов: а) СС1, СВ, CD; б) DC1, DB, DB1.
• 322. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки М и К — середины ребер B1C1 и A1D1. Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов.
• 323. На рисунке 98 изображен тетраэдр ABCD, ребра которого равны. Точки М, N, Р и Q — середины сторон АВ, AD, DC, ВС. а) Выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке, б) Определите вид четырехугольника MNPQ.
• 324. Справедливо ли утверждение: а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой; б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены; в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены?
• 325. Известно, что АА1=ВВ1. Как расположены по отношению друг к другу: а) прямые АВ и А1В1; б) прямая АВ и плоскость, проходящая через точки A1 и В1; в) плоскости, одна из которых проходит через точки A и B, а другая проходит через точки А1 и В1?
• 326. На рисунке 97 изображен параллелепипед, точки М и К — середины ребер В1С1 и A1D1. Назовите вектор, который получится, если отложить: а) от точки С вектор, равный DD1; б) от точки D вектор, равный СМ; в) от точки А1 вектор, равный АС; г) от точки С1 в

Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

• 327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) AB + A1D1; б) AB + AD1; в) DA + B1B; г) DD1+DB; д) DB1+ ВС.
• 328. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) АВ + BD=AC + CD; б) AB + BC = DC + AD; в) DC + BD = AC + BA.
• 329. Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, которые: а) противоположны вектору СВ; б) противоположны вектору B1A; в) равны вектору — DC; г) равны вектору — А1В1.
• 330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1, AD соответственно через a,b,c. Изобразите на рисунке векторы: а) а — b; б) а —с; в) b — а; г) с —b; д) с — а.
• 331. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) ОВ — ОА = ОС — OD; б) OB — OC = DA.
• 332. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.
• 333. В пространстве даны четыре точки А, В, С и D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов: а) (АВ + СА + DC) + (BC + CD); б) (АВ-АС) + DC.
• 334. Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK1L1M1N1. Докажите, что: а) |MK + MM1| = |MK - MM1|; б) |K1L1 - NL1| = |ML +MM1|; в) |NL - M1L| = |K1N - LN|.
• 335. Упростите выражение: a) AB+MN+BC+CA+PQ+NM; б) FK+MQ+KP+AM+QK+PF; в) KM+DF+AC+FK+CD+CA+MP; г) AB+BA+CD+MN+DC+NM.
• 336. Даны точки A, В, С и D. Представьте вектор АВ в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) AC, DC, BD; б) DA, DC, СВ; в) DA, CD, ВС.
• 337. Упростите выражение: a) OP - EP + KD - KA; б) AD + MP + EK - EP - MD; в) AC - BC - PM - AP + BM.
• 338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1=OC+OA1, где О—произвольная точка пространства.
• 339. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что: a) DC + D1A1 + CD1 + x + A1C1 = DB; б) DA + x + D1B + AD1 + BA = DC.
• 340. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) АА1 - В1С - х = ВА; б) AC1 - ВВ1 +х=АВ; в) AB1 + x = AC - x + BC1.
• 341. Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCD. Точка О — середина средней линии трапеции. Докажите, что PA + PB + PC + PD = 4 PO.
• 342. Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.
• 343. Известно, что AO = ½AB. Докажите, что точки А и В симметричны относительно точки О.
• 344. Диагонали куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что: a) AB = k⋅CD; б) AC1=k⋅AO; в) OB1=k⋅B1D.
• 345. Точки Е и F — середины оснований АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а) вектор ОА — ОС через вектор EF; б) вектор ОА — ОЕ через вектор DC.
• 346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ —ON через векторы АР и ВС.
• 347. Упростите выражение: а) 2(m+n)-3(4m-n)+m;б) m-3(n-2m+p)+5(p-4m).
• 348. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC1+B1D=2BC.
• 349. Три точки А, В и М удовлетворяют условию АМ = λ⋅MB, где λ≠— 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки О пространства выполняется равенство.
• 350. Известно, что p = a + b + c, причем векторы a, b и c попарно не сонаправлены. Докажите, что |p| < |а| + |b| + |с|.
• 351. Векторы a и c, а также b и c коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) a + b и с; б) a - b и c; в) a + 3b и с; г) -a + 2b и с.
• 352. Векторы a + b и a - b коллинеарны. Докажите, что векторы а и b коллинеарны.
• 353. Векторы a + 2b и a - 3b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны.
• 354. Докажите, что если векторы a + b и a - b не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы a + 2b и 2a - b не коллинеарны.

Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора

• 355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) АА1, СС1, ВВ1; б) АВ, AD, АA1; в) В1В, AC, DD1; г) AD, СС1, A1B1?
• 356. Отрезок EF соединяет середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = ВА + DC. Компланарны ли векторы FE, ВА и DC?
• 357. Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. Докажите, что векторы ВВ1, СС1 и DD1 компланарны.
• 358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) AB + AD + AA1; б) DA + DC + DD1; в) A1B1 + C1B1 + BB1; г) A1A + A1D1 + AB; д) B1A1 + BB1 + BC.
• 359. В вершинах А1, В и D куба ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а, помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряженность* создаваемого ими электрического поля в точках A и C1 через вектор AC1. б) Найдите абсолютную величину результирующей
• 360. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1. б) Разложите вектор B1D1 по векторам А1А, А1В и А1D1.
• 361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторы CD и D1O по векторам АА1, АВ и AD.
• 362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам a = DA, b = АВ и с = АС.
• 363. Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке M. Разложите векторы OD и ОМ по векторам a = OA, b = OB и c = OC.
• 364. Точка К—середина ребра В1С1 куба ABCDA1B1C1D1. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = AD, с = АА, и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m.
• 365. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точка M — середина АВ, а точка К — середина MD. Разложите векторы ОМ и ОК по векторам а = ОА, b = ОВ, с = ОС.
• 366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка пространства, то
• 367. В тетраэдре ABCD медиана АА1 грани ABC делится точкой К так, что АК:КА1 =3:7. Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC.
• 368. Точки М и N являются серединами ребер АВ и A1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Разложите, если это возможно, по векторам АВ и AD вектор: а) AC; б) СМ; в) C1N; г) AC1; д) A1N; е) AN; ж) MD.
• 369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОА по векторам ОВ, ОС, ОМ.
• 370. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по векторам a = DA, b=DB, c = DC вектор: a) DN; б) DK; в) AМ; г) МК.
• 371. В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной A.
• 372. Докажите, что диагональ АС1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 111).
• 373. Точки А1, В1, С1 и М1 —основания перпендикуляров, про веденных к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 112). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересек
• 374. Отрезки АВ и CD не лежат в одной плоскости, точки М и N — середины этих отрезков. Докажите, что
• 375. В тетраэдре ABCD точки К и М — середины ребер АВ и CD Докажите, что середины отрезков КС, KD, МА и MB являют ся вершинами некоторого параллелограмма.
• Вопросы к главе IV

Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи

• 376. Лан параллелепипед MNРQМ1N1P1Q1. Докажите, что:
• 377. На рисунке 113 изображен правильный октаэдр. Докажите, что:
• 378. Докажите, что разность векторов а и b выражается формулой a - b = a + (-b)
• 379. Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов: а) АВ + BD + DC; б) AD + CB + DC; в) AB+CD+BC+DA.
• 380. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите сумму векторов: а) АВ+В1С1 + DD1 + CD; б) B1C1+AB+ DD1+CB1 +BC +A1A; в) BA + AC+CB + DC + DA.
• 381. Даны треугольники ABC, А1В1С1 и две точки О и Р пространства. Известно, что OA+OP=OA1, OB+OP=OB1,OC+OP=OC1. Докажите, что стороны треугольника А1В1С1 соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.
• 382. При каких значениях k в равенстве a = kb, где b ≠0, векторы а и b: а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?
• 383. Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a+kb и a+lb не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы a+k1b и а+lb не коллинеарны при любых неравных числах k1 и l1.
• 384. Точки А1, В1 и С1 — середины сторон ВС, АС и АВ треугольника ABC, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что
• 385. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что
• 386. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство
• 387. Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор ОР через векторы ОМ и ON, если: a) NP = 2MN; б) МР-½PN; в) МР = k⋅MN, где k—данное число.
• 388. Докажите, что векторы р, а и b компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.
• 389. На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A1, A2, A3 и B1, B2, B3, причем A1A2=k⋅A1A3, В1В2= k⋅В1В3. Докажите, что прямые А1В1, А2В2, A3B3 параллельны некоторой плоскости.
• 390. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AB = AD = a, AA1 = 2а. В вершинах B1 и D1 помещены заряды q, а в вершине A — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: а) в точке A1; б) в точке С;
• 391. В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВ1 грани BCD. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = АС, с=AD.
• 392. На трех некомпланарных векторах р = АВ, q = AD, г=АА1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам р, q и г векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.
• 393. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К—середина ребра СС1. Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, АА1; б) DA1 по векторам АВ1, ВС1, CD1.
• 394. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам АВ, AD и АА1.
• 395. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А1В1С1 совпадают, то прямые АА1, ВВ1 и СС1 параллельны некоторой плоскости.
• 396. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС. Выразите через векторы b = АВ, с = АС и d = AD следующие векторы: ВС, CD, DB и DM.
• 397. В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN||AC, и найдите отношение длин этих отрезков.
• 398. Треугольники ABC, A1B1C1 и A2B2C2 расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А1А2, В1В2, С1С2 соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, А1В1С1 и A2B2C2 лежат на одной прямой.
• 399. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

Глава V. Метод координат в пространстве. § 1. Координаты точки и координаты вектора.

• 400. Даны точки A (3; — 1; 0), В (0; 0; — 7), С (2; 0; 0), D ( — 4; 0; 3), E (0; — 1; 0), F(1;2;3), G (0; 5; -7), Н (-√5; √3; 0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Оху, д) плоскости Oyz
• 401. Найдите координаты проекций точек А(2; —3; 5), В (3; —5; ½) и C( — √3; —√2/2; √5-√3) на: а) координатные плоскости Oxz, Оху и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Oz.
• 402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А1 (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.
• 403. Запишите координаты векторов: a = 3i+2j—5k, b=—5i + 3k — k, c=i — j, d = j+k, m = k—i, n = 0,7k.
• 404. Даны векторы а {5; —1; 2}, b{-3; -1; 0}, c{0; -1; 0}, d (0; 0; 0). Запишите разложения этих векторов по координатным векторам i, j, k.
• 405. На рисунке 124 изображен прямоугольный параллелепипед, у которого ОА= 4, ОВ = 6, ОО1=5. Найдите координаты векторов ОА1, ОВ1, OO1, ОС, ОС1, ВС1, АС1, O1С в системе координат Oxyz.
• 406. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
• 407. Даны векторы а {3; —5; 2}, b{0; 7; —1}, с {⅔; 0; 0;} и d{ — 2,7; 3,1; 0,5}. Найдите координаты векторов: а) а+b; б) а + с; в) b+с; г) d+b; д) d + a; е) а+b+с; ж) b + а + d; з) а+b+c+d.
• 408. По данным рисунка 125 найдите координаты векторов АС, СВ, АВ, MN, NP, ВМ, ОМ, ОР, если ОА= 3, ОВ=7, ОС = 2, а М, N и Р — середины ребер АС, ОС и СВ.
• 409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координаты векторов: а) а — b; б) b — а; в) а — с; г) d — а; д) с — d; е) а — b+с; ж) а — b — с; з) 2а; и) —3b; к) —6с; л) —⅓d; м) 0,2b.
• 410. Даны векторы a {— 1; 2; 0}, b{0; —5; —2} и с {2; 1; —3}. Найдите координаты векторов p=3b-2a+c и q=3c-2b+a.
• 411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координаты векторов: а) За + 2b —с; б) —а + 2с —d; в) 0,1а+ 3b +0,7с— 5d; г) (2а + 3b) — (а — 2b) + 2 (а-b).
• 412. Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: i, j, k, а {2; 0; 0}, b { — 3; 5; —7), с { — 0,3; 0; 1,75}.
• 413. Коллинеарны ли векторы: а) а{3; 6; 8} и b{6; 12; 16); б) с{1; — 1; 3} и d {2; 3; 15}; в) i{1; 0; 0} и j{0; 1; 0}; г) m {0; 0; 0} и n {5; 7; -3}; д) p {⅓ -1; 5} и q {-1; -3; -15}?
• 414. Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны: а) а {15; m; 1} и b(18; 12; n); б) с {m; 0,4; —1} и d{-½;n;5}.
• 415. Компланарны ли векторы: а) а {— 3; —3; 0}, i и j; б) b{2; 0; — 3}, i и j; в) с{1; 0; — 2}, i и k; г) d {1; — 1; 2}, е{ — 2; 0; 1} и f{5; —1; 0}; д) m {1; 0; 2}, n{1; 1; —1} и р {— 1; 2; 4}; е) q{0; 5; 3}, F {3; 3; 3} и s {1; 1; 4}?
• 416. Даны векторы ОА{3; 2; 1}, OB {1; -3; 5} и OC{ -⅓0,75; -2¾}. Запишите координаты точек А, В и С, если точка О — начало координат.
• 417. Даны точки А (2; —3; 0), В (7; — 12; 18) и С ( — 8; 0; 5). Запишите координаты векторов ОА, ОВ и ОС, если точка О — начало координат.
• 418. Найдите координаты вектора АВ, если: а) A (3; —1; 2), В(2; — 1; 4); б) A (-2; 6; -2), В(3; - 1; 0); в) A (1; ⅚; ½), B(½⅓¼).
• 419. Вершины треугольника ABC имеют координаты: A (1; 6; 2), В (2; 3; — 1), С ( — 3; 4; 5). Разложите векторы АВ, ВС и СА по координатным векторам i, j и k.
• 420. Даны точки A (3; -1; 5), В (2; 3; -4), С(7; 0; -1) и D (8; —4; 8). Докажите, что векторы АВ и DC равны. Равны ли векторы ВС и AD?
• 421. Лежат ли точки A, В и С на одной прямой, если: а) А (3; -7; 8), В (-5; 4; 1), С (27; -40; 29); б) A (-5; 7; 12), В (4; -8; 3), С (13; -23; -6); в) A (-4; 8; -2), В ( - 3; -1; 7), С (-2; -10; -16)?
• 422. Лежат ли точки A, В, С и D в одной плоскости, если: а) А (-2; -13; 3), В(1; 4; 1), С (- 1; - 1; -4), D (0; 0; 0); б) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3); в) A (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С (12; -15; -7), D(1; 1; -2)?
• 423. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами A (x1; y1; z1), В (x2; y2; z2), С (x3; y3; z3) имеет координаты
• 424. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А (0; 3; —4), В ( — 2; 2; 0); б) точки В, если A (14; —8; 5), М (3; —2; —7); в) точки A, если B(0; 0; 2), М (— 12; 4; 15).
• 425. Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите m и n, если: а) A ( — 3; m; 5), В (2; —2; n); б) А (1; 0,5; —4), В (1; m; 2n); в) A (0; m; n+1), В(1; n;-m+1); г) A (7; 2m+n; —n), В ( - 5; -3; m -3).
• 426. Найдите длину вектора АВ, если: а) A (— 1; 0; 2), В (1; — 2; 3); б) A (-35; -17; 20), В (-34; -5; 8).
• 427. Найдите длины векторов: а {5; —1; 7}, b {2 √3; —6; 1}, c = i+j+k, d=—2k, m = i — 2j.
• 428. Даны векторы а {3; —2; 1), b { — 2; 3; 1} и с { —3; 2; 1}. Найдите: а) |а + b|; б) |а| + |b|; в) |а| — |b|; г) |а — b|; д) |3с|; е) √14|c|; ж) |2а —Зс|.
• 429. Даны точки М ( — 4; 7; 0) и N (0; — 1; 2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
• 430. Даны точки A (3/2; 1; — 2 ), В (2; 2; —3) и С (2; 0; — 1). Найдите: а) периметр треугольника АВС; б) медианы треугольника ABC.
• 431. Определите вид треугольника ABC, если: а) A (9; 3; —5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2); б) A (3; 7; -4), В (5; -3; 2), С (1; 3; — 10); в) A (5; -5; -1),В(5; -3; -1), С (4; -3;0); г) A (-5; 2; 0), В ( — 4; 3; 0), С (-5; 2; -2).
• 432. Найдите расстояние от точки A ( — 3; 4; —4) до: а) координатных плоскостей; б) осей координат.
• 433. На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку, расстояние от которой до точки A ( — 1; 2; —3) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости до точки A.
• 434. На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от которой до точки В (3; —4; √7) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой оси до точки В.
• 435. Даны точки A (1; 0; k), В (— 1; 2; 3) и С (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник ABC является равнобедренным?
• 436. Даны точки A (4; 4; 0), В (0; 0; 0), С (0; 3; 4) и D (1; 4; 4). Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция.
• 437. Найдите точку, равноудаленную от точек А (— 2; 3; 5) и В(3; 2; —3) и расположенную на оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz.
• 438. Даны точки А (— 1; 2; 3), В ( — 2; 1; 2) и С (0; — 1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Оху; б) Oyz; в) Ozx.
• 439. Даны точки О (0; 0; 0), А (4; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; —2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника АОВ; б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра OABC.
• 440. Отрезок CD длины т перпендикулярен к плоскости прямоугольного треугольника ABC с катетами АС = b и ВС = a. Введите подходящую систему координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками найдите расстояние от точки D до середины гипотенузы эт

Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов

• 441. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами: а) В1В и В1С; б) DA и B1D1; в) А1С1 и А1В; г) ВС и АС; д) ВВ1 и АС; е) В1С и AD1; ж) A1D1 и ВС; з) АА1 и С1С.
• 442. Угол между векторами АВ и CD равен φ. Найдите углы BA^DC, BA^CD, АВ^DC.
• 443. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а, точка O1 — центр грани A1B1C1D1. Вычислите скалярное произведение векторов: а) AD и В1С1; б) АС и С1А1; в) D1B и АС; г) ВА1 и ВС1; д) A1O1 и А1С1; е) D1O1 и В1O1; ж) ВО1 и С1В.
• 444. Даны векторы а {1; —1; 2),b{—1; 1; 1} и с {5; 6; 2}. Вычислите ас, ab, bc, aa, √bb.
• 445. Даны векторы а = 3i — 5j + k и b=j — 5k. Вычислите: a) аb; б) ai; в) bj; г) (a + b)k; д) (а — 2b) (k + i— 2j).
• 446. Даны векторы а {3; —1; 1}, b{—5; 1;0} и c{— 1; —2; 1}. Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) а и b; б) b и c; в) a и c.
• 447. Дан вектор а {3: —5; 0}. Докажите, что: a) a^i<90°; б) а^j>90°; в) a^k = 90°.
• 448. Даны векторы а {— 1; 2; 3} и b {5, х; — 1} При каком значении х выполняется условие: a) ab = 3; б) cb= — 1; в) a⊥b?
• 449. Даны векторы a=mi+3j+4k и b=4i+mj-7k. При каком значении m векторы а и b перпендикулярны?
• 450. Даны точки А (0; 1; 2), В (√2; 1; 2), С (√2; 2; 1) и D (0; 2; 1). Докажите, что ABCD — квадрат.
• 451. Вычислите угол между векторами: а) а{2; —2; 0} и b {3; 0; -3}; 6) а {√2; √2; 2} и b {-3; -3; 0}; в) a{0; 5; 0} и b{0; — √З; 1); г) а {—2,5; 2,5; 0} и b (-5; 5; 5 √2}; д) а{ — √2; — √2; —2} и b{√2/2 ;√2/
• 452. Вычислите углы между вектором а {2; 1; 2} и координатными векторами.
• 453. Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; — 1) и С (1; 2; — 1). Вычислите угол между векторами СА и СВ.
• 454. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки A(1; -1; 3;), В (3; -1; 1) и С(- 1; 1; 3).
• 455. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите косинус угла между векторами: а) АА1 и AC1; б) BD1 и DB1; в) DB и АС1.
• 456. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором АВ = 1, ВС = СС1 = 2. Вычислите угол между векторами DB1 и BC1.
• 457. Известно, что а^с = b^с = 60°, |а| = 1, |b| = |с| = 2. Вычислите (а + b) с.
• 458. Докажите справедливость равенства (a + b + с) d = ad + bd + cd.
• 459. Векторы а и b перпендикулярны к вектору с, ab= 120°, |а| = |b| = |с| = 1. Вычислите: а) скалярные произведения (а+b+с) (2b) и (а — b+с)(а — с); б) |а — b| и |a+b-c|.
• 460. Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной системе координат равны {|a|cosφ1; |a|cosφ2; |a|cosφ3}, где φ1=a^i, φ2=a^j, φ3=a^k.
• 461. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки М и N — середины ребер AD и ВС. Докажите, что MN AD = MN ВС = 0.
• 462. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AA1=AB = AD=1, ∠DAB = 60°, ∠A1AD=∠A1AB = 90°. Вычислите: a) BA⋅D1C1; б) BC1⋅D1B; в) AC1⋅AC1; г) |DB1|; д) |A1C|; e) cos (DA1^D1B); ж) cos (AC1^DB1).
• 463. В тетраэдре ABCD противоположные ребра AD и ВС, а также BD и АС перпендикулярны. Докажите, что противоположные ребра CD и АВ также перпендикулярны.
• 464. Вычислите угол между прямыми А В и CD, если: а) А (3; -2; 4), В (4; -1; 2), С (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) A (5; -8; -1), В (6; -8; -2), С (7; -5; -11), D (7; -7; -9); в) A(1; 0; 2), В (2; 1; 0), С (0; -2; -4), D ( - 2; -4; 0); г) А (-6; -15; 7), В (
• 465. Дана правильная треугольная призма АВСA1B1C1, в которой АА1=√2АВ (рис. 132,а). Найдите угол между прямыми АС1 и А1В.
• 466. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, причем АМ:МА1=3:1, а точка N— середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: a) MN и DD1; б) MN и BD; в) MN и B1D; г) MN и А1С.
• 467. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС=½АА1. Найдите угол между прямыми: a) BD и CD1; б) АС и АС1
• 468. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 1, ВС=2, BB1=3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) АС и D1B; б) AB1 и ВС1; в) A1D и АС1.
• 469. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M:MD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) ABCD; б) DD1C1C; в) AA1D1D.
• 470. В тетраэдре ABCD ∠ABD= ∠ABC= ∠DBC = 90°, АВ = BD = 2, ВС= 1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер AD и ВС, и плоскостью грани: a) ABD; б) DBC; в) ABC.
• 471. Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.
• 472. Дан куб MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что прямая РМ1 перпендикулярна к плоскостям MN1Q1 и QNP1.
• 473. Лучи ОА, ОВ и ОС образуют три прямых угла АОВ, АОС и ВОС. Найдите угол между биссектрисами углов СОА и АОВ.
• 474. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ∠BAC1 = ∠DAC1=60°. Найдите φ= ∠A1AC1.
• 475. В тетраэдре DABC DA = 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см, ∠BAC = 90°, ∠DAB= 60°, ∠DAC = 45°. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника DBC.
• 476. Угол между диагональю АС1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и каждым из ребер АВ и AD равен 60°. Найдите ∠САС1.
• 477. Проекция точки К на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и BD равен 90°.

Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения

• 478. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(0; 1; 2), В (3; — 1; 4), С(1; 0; —2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии относительно координат
• 479. Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
• 480. Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
• 481. Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью угол φ.
• 482. При зеркальной симметрии прямая a отображается на прямую а1. Докажите, что прямые a и a1 лежат в одной плоскости.
• 483. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если: а) β||α, то β1||α; б) β⊥α, то β1 совпадает с β.
• 484. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р, где р≠0: а) прямая, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на с
• 485. Треугольник A1B1C1 получен параллельным переносом треугольника ABC на вектор р. Точки M1 и М — соответственно точки пересечения медиан треугольников A1B1C1 и ABC. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р точка М переходит в точку М1.
• 486. Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость.
• 487. Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отрезок; б) угол отображается на равный ему угол.
• 488. Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.
• 489. Докажите, что при движении: а) окружность отображается на окружность того же радиуса; б) прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.

Вопросы к главе V Метод координат в пространстве

• 1. Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если: а) одна ее координата равна нулю; б) две ее координаты равны нулю?
• 2. Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.
• 3. Даны точки А (2; 4; 5), В (3; х; у), С (0; 4; z) и D (5; t; u). При каких значениях х, у, z, t и u эти точки лежат: а) в плоскости, параллельной плоскости Оху; б) в плоскости, параллельной плоскости Oxz; в) на прямой, параллельной оси Ох?
• 4. Какие координаты имеет вектор СА, если АВ {x1; у1; z1}, ВС {х2; у2; z2}?
• 5. Первая и вторая координаты ненулевого вектора а равны нулю. Как расположен вектор а по отношению к оси: a) Oz; б) Ох; в) Oy?
• 6. Первая координата ненулевого вектора а равна нулю. Как расположен вектор а по отношению: а) к координатной плоскости Oxz; б) к оси Ох?
• 7. Коллинеарны ли векторы: а) а{—5; 3; —1} и b{6; —10; —2}; б) а{-2; 3; 7} и 6{-1; 1,5; 3,5)?
• 8. Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точки М равняться: а) 1; б) 2?
• 9. Длина вектора а равна 3. Может ли одна из координат вектора а равняться: а) 3; б) 5?
• 10. Абсцисса точки М1 равна 3, а абсцисса точки М2 равна 6. а) Может ли длина отрезка М1М2 быть равной 2? б) Как расположен отрезок М1М2 по отношению к оси Ох, если его длина равна 3?
• 11. Векторы a и b имеют длины a и b . Чему равно скалярное произведение векторов a и b , если: а) векторы a и b сонаправлены; б) векторы a и b противоположно направлены; в) векторы a и b перпендикулярны; г) угол между векторами a и b равен 60°; д) угол ме
• 12. При каком условии скалярное произведение векторов a и b: а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?
• 13. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Перпендикулярны ли векторы: a) AD и D1C1; б) BD и СС1; в) А1С1 и AD; г) DB и D1C1; д) ВВ и АС?
• 14. Первые координаты векторов а и b равны соответственно 1 и 2. Может ли скалярное произведение векторов а и b быть: а) меньше 2; б) равно 2; больше 2?
• 15. Какие координаты имеет точка А, если при центральной, симметрии с центром А точка В(1; 0; 2) переходит в точку С (2; -1; 4)?
• 16. Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М(2; 1; 3) переходит в точку M1 (2; —2; 3)?
• 17. В какую перчатку (правую или левую) переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?

Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве

• 490. Даны векторы а {—5; 0; 5), b (—5; 5; 0] и с{ 1; —2; —3). Найдите координаты вектора: а) 3b — За + Зс; б) —0,1с + 0,8а —0,5b.
• 491. Коллинеарны ли векторы: а) а {— 5; 3; — 1} и b (6; —10; —2}; б) а{-2; 3; 7} и b {— 1; 1,5; 3,5); в) a{-⅔; 5/9; — 1 } и b {6; -5; 9}; г) а {0,7; -1,2; -5,2} и b {-2,8; 4,8; -20,8}?
• 492. Даны точки А ( — 5; 7; 3) и В (3; —11; 1). а) На оси Ох найдите точку, ближайшую к середине отрезка АВ. б) Найдите точки, обладающие аналогичным свойством, на осях Оу и Oz.
• 493. Компланарны ли векторы: а) а{—1; 2; 3}, i + j и i — k; б) b{2; 1; 1,5}, i + j + k и i —j; в) а{1; 1; 1}, b(1; —1; 2} и с (2; 3; -1}?
• 494. Даны точки А (3; 5; 4), В (4; 6; 5), С (6; —2; 1) и D (5; —3; 0). Докажите, что ABCD — параллелограмм.
• 495. Даны точки А (2; 0; 1), В (3; 2; 2) и С (2; 3; 6). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC.
• 496. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: А (3; 0; 2), В (2; 4; 5), А1 (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Найдите координаты остальных вершин.
• 497. Середина отрезка АВ лежит в плоскости Оху. Найдите k, если: а) А (2; 3; - 1), В (5; 7; k); б) А (0; 4; k), В (3; -8; 2); в) А (5; 3; k), В (3; -5; 3k).
• 498. Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами а {2; 1; —2} и b{1; 3; 0}.
• 499. Длина вектора а {х; у; z) равна 5. Найдите ординату вектора а, если х = 2, z=—√5.
• 500. Даны точки М (2; —1; 3), N ( — 4; 1; —1), Р ( — 3; 1; 2) и Q (1; 1; 0). Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.
• 501. Найдите расстояние от точки В (— 2; 5; √3) до осей координат.
• 502. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек A (13; 2; -1) и В (-15; 7; -18).
• 503*. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А (0; 2; 2), В (2; 1; 1), С (2; 2; 2).
• 504. Вершины треугольника ABC расположены по одну сторону от плоскости α и находятся от этой плоскости на расстояниях 4 дм, 5 дм и 9 дм. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до плоскости α.
• 505*. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.
• 506. Даны векторы а {— 1; 5; 3}, b {3; 0; 2}, с{½ -3; 4} и d {2; 1; 0}. Вычислите скалярное произведение: a) ab; б) ас; в) dd; г) (a+ b + c)d; д) (a — b)(c — d).
• 507. В тетраэдре DABC DA = DB = DC, ∠ADB = 45°, ∠BDC = 60°. Вычислите угол между векторами: а) DA и BD; б) DB и СВ; в) BD и ВА.
• 508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы: а) D1B и D1D; б) DD1 и ВС; в) DA и ВС; г) D1B и DC?
• 509. Вычислите косинус угла между прямыми АВ и CD, если: а) A (7; -8; 15), В (8; -7; 13), С(2; -3; 5), D(-1; 0; 4); б) A (8; -2; 3), В( 3; -1; 4), С (5; -2; 0), D (7; 0; -2).
• 510. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М — центр грани ВВ1С1С. Вычислите угол между векторами: а) A1D и АМ; б) MD и ВВ1.
• 511. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ∠BAA1 = ∠BAD =∠DAA1 =60°, АВ =AA1 =AD = 1. Вычислите длины векторов AC1 и BD1.
• 512. Проекция точки М на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой О пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны ВС, АС = 8, DB = МО = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) ВС; б) DC; в) АС; г) DB.
• 513. В кубе A1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1, причем ВМ:МВ1=3:2, а точка N лежит на ребре AD, причем AN:ND = 2:3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) DD1C1C; б) A1B1C1D1.
• 514. Лучи ОА, ОВ, ОС и ОМ расположены так, что ∠AOB = ∠ВОС = ∠СОА = 90°, ∠АОМ = φ1, ∠ВОМ = φ2, ∠COM = φ3. Докажите, что
• 515. Лучи ОА, ОВ и ОС расположены так, что ∠BOC = ∠BOA = 45°, ∠AOC = 60°. Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Найдите угол между прямыми ОН и ОС.
• 516. Дан двугранный угол CABD, равный φ (φ<90°). Известно, что АС⊥АВ и ∠DAB = Q. Найдите cos∠CAD.
• 517. Отрезки СА и DB перпендикулярны к ребру двугранного угла CABD, равного 120°. Известно, что АВ=m, СА = n, BD = p. Найдите CD.
• 518. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α — на плоскость α1. Докажите, что: а) если a||α, то a1||α1; б) если a⊥α, то a1⊥α1.
• 519. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если плоскость β образует с плоскостью α угол φ, то и плоскость β1 образует с плоскостью α угол φ.
• 520. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р: а) плоскость, не параллельная вектору p и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, параллельная вектору p или содержащая этот вектор, отображается на себя

Глава VI. Цилиндр, конус и шар § 1. цилиндр

• 521. Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота —4 м.
• 522. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.
• 523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
• 524. Осевые сечения двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих цилиндров?
• 525. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания — 5 м2. Найдите высоту цилиндра.
• 526. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как √3π:4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.
• 527. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) h, если r =10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм; б) d, если h = 6 см, г = 5 см, АВ=10 см.
• 528. Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше его радиуса, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого — образующие цилиндра.
• 529. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.
• 530. Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.
• 531. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм2. Найдите радиус цилиндра.
• 532. Через образующую АА1 цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен tp.
• 533. Высота цилиндра равна h, а площадь осевого сечения равна 5. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения равно d.
• 534. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна h, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d.
• 535. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 60°. Образующая цилиндра равна 10√З см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите площадь сечения.
• 536. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна 5. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
• 537. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
• 538. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
• 539. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?
• 540. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
• 541. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?
• 542. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен φ, площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
• 543. Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен φ, диагональ равна d. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.
• 544. Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра.
• 545. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найдите площадь: а) осевого сечения цилиндра; б) боковой поверхности цилиндра; в) полной поверхности цилиндра.
• 546. Один цилиндр получен вращением в пространстве прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр — вращением того же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площаде

Глава VI. Цилиндр, конус и шар § 2. Конус

• 547. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.
• 548. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите площадь основания конуса, если: а) α = 30°; б) α = 45°; в) α = 60°.
• 549. Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания?
• 550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.
• 551. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2г. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.
• 552. Высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.
• 553. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадь основания равна 8 дм2.
• 554. Образующая конуса равна l, а радиус основания равен r. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в 60°; б) в 90°.
• 555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.
• 556. Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1 радиуса r1, где О1 — точка пересечения плоскости &al
• 557. Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.
• 558. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см.
• 559. Найдите дугу сектора, представляющего собой развертку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в 60°.
• 560. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°.
• 561. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.
• 562. Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
• 563. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
• 564. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом φ. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна a, а противолежащий угол равен α. Найдите площадь полной поверхности конуса.
• 565. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
• 566. Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, получаемого при вращении треугольника.
• 567. Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.
• 568. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения.
• 569. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и r, где а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения.
• 570. Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см2. Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса.
• 571. Дана трапеция ABCD, в которой ∠A=90°, ∠D = 45°, ВС = 4 см, CD = 3√2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны АВ.
• 572. Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 м2 требуется 150 г краски? (Толщ

Глава VI. Цилиндр, конус и шар § 3. Сфера

• 573. Точки А и В лежат на сфере с центром O∉АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что: а) если М — середина отрезка АВ, то ОМ⊥АВ; б) если ОМ⊥АВ, то М — середина отрезка АВ.
• 574. Точка М — середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если R = 50 см, AB=40 см; б) ОМ, если R = 15 мм, АВ= 18 мм; в) АВ, если R=10 дм, ОМ =60 см; г) AM, если R=a, ОМ = b.
• 575. Точки А и В лежат на сфере радиуса R. Найдите расстояние от центра сфера до прямой АВ, если АВ = m.
• 576. Найдите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: а) А (2; -4; 7), R = 3; б) А (0; 0; 0), R = √2; в) А (2; 0; 0), R = 4.
• 577. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если: а) А ( — 2; 2; 0), N (5; 0; — 1); б) А ( — 2; 2; 0), N(0; 0; 0); в) A (0; 0; 0), N (5; 3; 1).
• 578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2 + (y + 2)2 + z2 = 2.
• 579. Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) х2 —4x + y2 + z2 =0; б) x2+y2+z2—2y= 24; в) х2+ 2х + у2+z2 = 3; г) х2 — х — y2 + 3y + z2 —2z = 2,5.
• 580. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
• 581. Вершины треугольника ABC лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС= 10 см.
• 582. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.
• 583. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.
• 584. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB= 13 см, BC= 14 см, CA = 15 см.
• 585. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.
• 586. Отрезок ОН—высота тетраэдра ОАВС. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости ABC, если: a) R = 6 дм, ОН = 60 см; б) R = 3 м, ОН = 95 см; в) R = 5 дм, О А = 45 см; г) R = 3,5 дм, ОН = 40 см.
• 587. Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости равно d. Вычислите: а) площадь S сечения, если R — 12 см, d = 8 см; б) R, если площадь сечения равна 12 см2, d = 2 см.
• 588. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а
• 589. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен а. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: a) R = 2 см, α = 30°; б) R = 5 м, α = 45°.
• 590. Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом φ к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.
• 591. Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.
• 592. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
• 593. Найдите площадь сферы, радиус которой равен: а) 6 см; б) 2 дм; в) √2 м; г) 2√3 см.
• 594. Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 м2. Найдите площадь сферы.
• 595. Площадь сферы равна 324 см2. Найдите радиус сферы.
• 596. Используя формулу площади сферы, докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов.
• 597. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.
• 598. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы.
• 599. Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны r1 и r2. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку.
• 600. Используя формулу площади сферы, докажите, что площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата.

Вопросы к главе VI Цилиндр, конус и шар

• Вопросы к главе VI Цилиндр, конус и шар

Глава VI. Цилиндр, конус и шар. Дополнительные задачи

• 601. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу.
• 602. Вершины А и В прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины С и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна а, АВ=а, а угол между прямой ВС и плоскостью основания равен 6
• 603. Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью к цили
• 604. При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, площади полных поверхностей которых равны S1 и S2. Найдите диагональ прямоугольника.
• 605. Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади боковой поверхности, если осевое сечение цилиндра представляет собой: а) квадрат; б) прямоугольник ABCD, в котором AB:AD = 1:2.
• 606. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.
• 607. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2р.
• 608. Толщина боковой стенки и дна стакана цилиндрической формы равна 1 см, высота стакана равна 16 см, а внутренний радиус равен 5 см. Вычислите площадь полной поверхности стакана.
• 609. Четверть круга свернута в коническую поверхность. Докажите, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания.
• 610. Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имеющего три попарно перпендикулярные образующие.
• 611. Площадь основания конуса равна S1, а площадь боковой поверхности равна S0. Найдите площадь осевого сечения конуса.
• 612. Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно 7/8. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.
• 613. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.
• 614. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 270°.
• 615. Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела.
• 616. Равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 10 см, а острый угол 60°, вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного тела.
• 617. Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус*, если: а) n = 3; б) n= 4; в) n = 6.
• 618. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь равна 36 дм2. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса.
• 619. Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.
• 620. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиу
• 621. Расстояние от центра сферы радиуса R до данной прямой равно d. Докажите, что: а) если d<R, то прямая пересекает сферу в двух точках; б) если d = R, то прямая имеет только одну общую точку со сферой; в) если d>R, то прямая не имеет со сферой ни
• 622. Найдите координаты точек пересечения сферы, заданной уравнением (х — З)2 +у2 +(z+5)2 = 25, с осями координат.
• 623. Найдите радиус сечения сферы х2 +у2 + z2 = 36 плоскостью, проходящей через точку М (2; 4; 5) и перпендикулярной к оси абсцисс.
• 624. Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.
• 625. Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра. а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно 1,6 R.
• 626. Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причем ∠ADB= ∠BDC=∠CDA = 2φ, AD = BD = CD. Найдите: а) АВ и AD; б) площадь сечения сферы плоскостью ABC.
• 627. Радиус сферы равен 10 см. Вне сферы дана точка М на расстоянии 16 см от ближайшей точки сферы. Найдите длину такой окружности на сфере, все точки которой удалены от точки М на расстояние 24 см.
• 628. Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.

Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар

• 629. Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы* проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны.
• 630. В конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.
• 631. В усеченный конус вписана правильная усеченная n-угольная пирамида (т.е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирам
• 632. Докажите что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.
• 633. Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.
• 634. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы многогранника, если этот многогранник является: а) кубом; б) правильной шестиугольной призмой; в) правильным тетраэдром.
• 635. Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен α. а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. б) Вычислите эту площадь при R = 5 см, α = 60°.
• 636. Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований ее боковой грани.
• 637. Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или ее продолжении.
• 638. Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.
• 639. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра.
• 640. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро равно 2а. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.
• 641. В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
• 642. Сфера вписана в цилиндр (т. е. она касается оснований цилиндра и каждой его образующей, рис. 157, а). Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра.
• 643. В конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 158, а). Найдите: а) r, если известны R и φ; б) R, если известны r и φ; в) &
• 644. В конус вписана сфера радиуса r. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол между образующей и основанием конуса равен а.
• 645. Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 157, б). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.
• 646. Конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 158, б). Найдите: а) r, если известны R и φ; б) R, если известн

Глава VII. Объемы тел. § 1. Объём прямоугольного параллелепипеда

• 647. Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы V1 и V2. Выразите объем V тела R через V1 и V2, если: а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек; б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен
• 648. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны a и b, а высота равна h, если:
• 649. Найдите объем куба ABCDA1B1C1D1 если: а) АС= 12 см; б) AC1 =3√2; в) DE= 1 см, где Е — середина ребра АВ.
• 650. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
• 651. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см3. Найдите его массу.
• 652. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1 = 13 см, BD= 12 см и ВС1 = 11 см.
• 653. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.
• 654. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол α с плоскостью боковой грани и угол β с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна h.
• 655. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол в 30°. Найдите объем параллелепипеда.
• 656. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ B1D составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол A1B1BD равен 60°. Найдите объем параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см.
• 657. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если: а) АС1 = 1 м, ∠С1AС=45°, ∠С1AB = 60°; б) AC1 =24 см, ∠C1AA1= 45°, AC1 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани.
• 658. Найдите объем прямой призмы АВСA1B1C1 и если ∠BAC = 90°, ВС =37 см, АВ = 35 см, AA1 = 1,1 дм.

Глава VII. Объемы тел. § 2. Объём прямой призмы и цилиндра

• 659. Найдите объем прямой призмы АВСA1B1C1, если: а) ∠ВАС= 120°, AB = 5 см, AC = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2; б) ∠AB1C = 60°, АВ1 = 3, СВ1=2 и двугранный угол с ребром ВВ1 прямой.
• 660. Найдите объем прямой призмы АВСA1B1C1, если АВ = ВС = m, ∠ABC = φ и BB1=BD, где BD - высота треугольника ABC.
• 661. Найдите объем прямой призмы ABCA1B1C1, если АВ = ВС, ∠ABC = α, диагональ А1С равна l и составляет с плоскостью основания угол β.
• 662. Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную и, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объем призмы.
• 663. Найдите объем правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.
• 664. В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания равна а.
• 665. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.
• 666. Пусть V, г и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если r = 2√2 см, h = 3 см; б) r, если V =120 см3, h = 3,6 см; в) h, если r = h, V = 8π см3.
• 667. Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6 г/см3).
• 668. Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см3?
• 669. П лощадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объем цилиндра.
• 670. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м?
• 671. В цилиндр вписана правильная n-угольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n=6; г) n = 8; д) n произвольное целое число.
• 672. В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему углом α. Найдите объем цилиндра, если высота призмы равна h.

Глава VII. Объемы тел. § 3. Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса

• 673. Сечение тела, изображенного на рисунке 175, плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсциссой х, является квадратом, сторона которого равна 1/x. Найдите объем этого тела.
• 674. Фигура, заштрихованная на рисунке 176, вращается вокруг оси Ох. Найдите объем полученного тела.
• 675. Фигура, заштрихованная на рисунке 177, вращается вокруг оси Оу. Найдите объем полученного тела.
• 676. Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60°.
• 677. Найдите объем наклонной призмы АВСA1B1C1, если АВ = ВС = СА = а, АВВ1А1 — ромб, АВ1<ВА1, АВ1=b, двугранный угол с ребром АВ прямой.
• 678. Основанием призмы АВСА1В1С1 является равносторонний треугольник ABC со стороной m. Вершина А1 проектируется в центр этого основания, а ребро АА1 составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объем призмы.
• 679. Основанием наклонной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с катетами АВ = 7 см и AC = 24 см. Вершина А1 равноудалена от вершин А, В и С. Найдите объем призмы, если ребро АА1 составляет с плоскостью основания угол в 45°.
• 680. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и b. Боковое ребро длины с составляет со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найдите объем параллелепипеда.
• 681. Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда.
• 682. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их.
• 683. Найдите объем наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности равна 480 см2.
• 684. Найдите объем пирамиды с высотой h, если: a) h = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м; б) h = 2,2 м, а основанием служит треугольник ABC, в котором АВ — 20 см, ВС = 13,5 см, ∠AВС = 30°.
• 685. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
• 686. Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α; в) плоский угол при вершине равен β.
• 687. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен φ, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.
• 688. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если: а) ее высота равна Н, а двугранный угол при основании равен β; б) сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α.
• 689. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объем пирамиды.
• 690. Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.
• 691. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС= 13 см, АС= 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в 30°. Вычислите объем пирамиды.
• 692. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами a и b. Каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ. Найдите объем пирамиды.
• 693. Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю b и углом α между диагоналями. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите этот угол, если объем пирамиды равен V.
• 694. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 1,5 см.
• 695. Найдите объем треугольной пирамиды SABC, если: а) ∠САВ = 90°, ВС = с, ∠АВС=φ и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол Θ; б) АВ= 12 см, ВС = CA = 10 см и двугранные углы при основании равны 45°; в) боковые ребра
• 696. Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором АВ = 20 см, AC = 29 см, ВС = 21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60°. Найдите объем пирамиды.
• 697. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и 0,5а, апофема боковой грани равна а. Найдите объем усеченной пирамиды.
• 698. Основания усеченной пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны m и n (m>n). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол φ. Найдите объем усеченной пирами
• 699. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полученной
• 700. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 4 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15 см2. Найдите объем усеченной пирамиды.
• 701. Пусть h, г и V — соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите: а) V, если h = 3 см, r=1,5 см; б) h, если г = 4 см, V = 48πсм3; в) r, если h = m, V = p.
• 702. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см3.
• 703. Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.
• 704. Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объем конуса, если его высота равна Н.
• 705. Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см2.
• 706. Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324π см3. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.
• 707. Площадь полной поверхности конуса равна 45π дм2. Развернутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объем конуса.
• 708. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем усеченного конуса.
• 709. В усеченном конусе известны высота h, образующая l и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объем усеченного конуса.

Глава VII. Объемы тел. § 4. Объём шара и площадь сферы

• 710, Пусть V —объем шара радиуса R, a S — площадь его поверхности. Найдите: а) S и V, если R = 4 см; б) R и S, если V = 113,04 см3; в) R и V, если S = 64π см2.
• 711. Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.
• 712. Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.
• 713. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
• 714. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?
• 715. Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?
• 716. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему одного шара?
• 717. Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.
• 718. Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.
• 719. В шаре проведена плоскость, перпендикулярная к диаметру и делящая его на части 6 см и 12 см. Найдите объемы двух полученных частей шара.
• 720. Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.
• 721. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.
• 722. Вода покрывает приблизительно ¾ земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша? (Радиус Земли считать равным 6375 км.)
• 723. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)
• 724. Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Вопросы к главе VII

• 1. Каким соотношением связаны объемы V1 и V2 тел Р1 и Р2, если: а) тело Р1 содержится в теле P2; б) каждое из тел Р1 и Р2 составлено из n кубов с ребром 1 см?
• 2. Какую часть объема данной прямой треугольной призмы составляет объем треугольной призмы, отсеченной от данной плоскостью, проходящей через средние линии оснований?
• 3. Изменится ли объем цилиндра, если диаметр его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?
• 4. Как изменится объем правильной пирамиды, если ее высоту увеличить в n раз, а сторону основания уменьшить в n раз?
• 5. Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид?
• 6. Как относятся объемы двух конусов, если их высоты равны, а отношение радиусов оснований равно 2?
• 7. Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?
• 8. Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объемы этих конусов?
• 9. Диаметр одного шара равен радиусу другого. Чему равно отношение: а) радиусов этих шаров; б) объемов шаров?
• 10. Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиуса 6 см?
• 11. Во сколько раз объем шара, описанного около куба, больше объема шара, вписанного в этот же куб?
• 12. Как изменится площадь сферы, если ее радиус: а) уменьшить в 2 раза; б) увеличить в 3 раза?
• 13. Отношение объемов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?
• 14. В каком отношении находятся объемы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как m2:n2?

Дополнительные задачи к главе VII

• 725. Площади трех попарно смежных граней прямоугольного параллелепипеда равны S1, S2 и S3. Выразите объем этого параллелепипеда через S1, S2, S3 и вычислите его при S1 =6 дм2, S2=12 дм2, S3=18 дм?.
• 726. В прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда.
• 727. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно а. Сечение, проведенное через две стороны разных оснований, является квадратом с площадью Q. Найдите объем параллелепипеда.
• 728. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 3√2 см, а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда.
• 729. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали BD1. и A1C взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, АВ = 3 см. Найдите объем параллелепипеда.
• 730. В прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять ребер равны а, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объем призмы.
• 731. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 3 м3, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней равны 3 м2 и 3√5 м2. Найдите длины ребер призмы.
• 732. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и составляет угол φ с плоскостью другой боковой грани. Найдите объем призмы.
• 733. Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.
• 734. На трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка АА1, ВВ1 и СС1. Докажите, что объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.
• 735. Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а площадь боковой поверхности равна 10,8 дм2. Найдите объем призмы.
• 736. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол φ, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии т от нее.
• 737. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с основанием угол φ, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное m. Найдите объем пирамиды.
• 738. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен 2φ. Найдите объем пирамиды.
• 739. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен a, а сторона основания равна a. Найдите объем пирамиды.
• 740. Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны φ1 и φ2. Высота пирамиды равна h, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ3. Найдите объем пирамиды.
• 741. Основанием четырехугольной пирамиды, высота которой равна Н, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом α. Попарно равные противоположные боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы β и &gamma
• 742. Основанием пирамиды является ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол φ. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы Θ. Найдите объе
• 743. Два ребра тетраэдра равны b, а остальные четыре ребра равны а. Найдите объем тетраэдра, если ребра длины b: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.
• 744. В усеченной пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2:5. В каком отношении делится ее объем плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?
• 745. Найдите объем цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна S, а площадь основания равна Q; б) осевое сечение является квадратом, а высота равна h; в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна S.
• 746. Докажите, что объемы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.
• 747. Конический бак имеет глубину 3 м, а его круглый верх имеет радиус 1,5 м. Сколько литров жидкости он вмещает?

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар

• 748. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна a, a острый угол между его диагоналями равен φ1. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основании, составляет с плоскостью основания двуг
• 749. Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым углом φ. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол Θ. Найдите объем конуса.
• 750. В цилиндр вписан шар. Найдите отношение объемов цилиндра и шара.
• 751. Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.
• 752. В конус, радиус основания которого равен r, а образующая равна l, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.
• 753. В усеченный конус, радиусы оснований которого равны, r и r1, вписан шар. Найдите отношение объемов усеченного конуса и шара.
• 754. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом α при основании вписан шар объема V. Найдите объем пирамиды.
• 755. В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α, вписан шар. Найдите объем шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.
• 756. В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол α. Найдите объем цилиндра.
• 757. В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен α. Образующая цилиндра равна l. Найдите объем шара.
• 758. В шар вписан конус, радиус основания которого равен г, а высота равна И. Найдите площадь поверхности и объем шара.
• 759. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол α.
• 760. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол р. Найдите площадь поверхности и объем шара.
• 761. Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?
• 762. Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?
• 763. Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см3.)

Задачи повышенной трудности

• 764. Даны две скрещивающиеся прямые, угол между которыми равен 90°. Найдите множество середин всех отрезков данной длины d, концы которых лежат на этих прямых.
• 765. Дан тетраэдр, все ребра которого равны. Докажите, что периметры фигур, которые получаются при пересечении этого тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным ребрам, равны.
• 766. Докажите, что сумма квадратов двух противоположных ребер тетраэдра вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих соответственно середины остальных противоположных ребер.
• 767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из
• 768. Найдите множество оснований всех перпендикуляров, проведенных из данной точки А, не лежащей на прямой ВС, к плоскостям, проходящим через эту прямую.
• 769. Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.
• 770. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. Докажите, что площадь треугольника АОВ равна среднему геометрическому площадей треугольников ABC и O1АВ, где O1 — проекция точки О на плоскость ABC.
• 771. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).
• 772. Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?
• 773. Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.
• 774. Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.
• 775. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.
• 776. Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.
• 777. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?
• 778. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.
• 779. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.
• 780. Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см?
• 781. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что пересечение тетраэдров AB1CD1 и C1BA1D есть правильный октаэдр.
• 782. Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.
• 783. Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите также, что можно построить ломаную, обладающую указанным
• 784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на 2 (теорема Эйлера).
• 785. Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.
• 786. Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.
• 787. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. Отрезок AS длины а перпендикулярен к плоскости ABC. Найдите расстояние и угол между прямыми АВ и SC.
• 788. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. На сонаправленных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости ABC, взяты точки D и Е так, что BD=a/√2 , СЕ = а√2. Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями
• 789. Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.
• 790. Основание ABC тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание ABC под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоп
• 791. Из точки А исходят четыре луча АВ, AC, AD и АЕ так, что ∠ВАС=60°, ∠BAD= ∠DAC = 45°, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол САЕ.
• 792. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны.
• 793. Три боковые ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими ребрами, перпендикулярна к плоскости основания.
• 794. Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О прямые. Докажите, что проекция вершины О на плоскость ABC есть точка пересечения высот треугольника ABC.
• 795. Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.
• 796. Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.
• 797. Найдите множество всех точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.
• 798. В тетраэдр с высотами h1, h2, h3, h4 вписан шар радиуса R. Докажите, что
• 799. Какому условию должны удовлетворять радиусы трех шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?
• 800. На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причем три из них попарно касаются друг друга, а четвертый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса г, касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаро
• 801. На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна λR. Найдите радиус его основания.
• 802. Плоскости АВ1С1 и А1ВС разбивают правильную треугольную призму ABCA1B1C1 на четыре части. Найдите отношение объемов этих частей.
• 803. Докажите, что объем тетраэдра равен 1/6abcsinφ, где а и b — противоположные ребра, а φ и с — соответственно угол и расстояние между ними.
• 804. Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны.
• 805. Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через прямую АВ и среднюю линию грани OCD?
• 806. Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок АВ, а на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объем тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D.
• 807. Точки Е и F — середины ребер DC и ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 см. Найдите объем тетраэдра AD1EF.
• 808. В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что
• 809. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них раве
• 810. Вокруг данного шара описан конус с углом а при вершине осевого сечения При каком значении а конус имеет наименьший объем?
• 811. В конус вписан шар. Докажите, что отношение объемов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.
• 812. Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения.
• 813. Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объему части. Найдите косинус уг
• 814. Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), прич
• 815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, с