157. Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны, б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.

157. Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны, б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.

Дано:

Решение:

В (ABCD) проведем через т. О EF ⊥ AD, ОН ⊥ CD.

Диагонали ромба, во-первых, являются биссектрисами его углов; во-вторых, в точке пересечения делятся пополам. Следовательно,

отсюда

утверждение а)

доказано. Оно следует из равенства треугольников. (KO общий катет,

отсюда

С другой стороны,

Отсюда

(из равенства ΔOFD и ΔOHD).

Из ΔKOH:

Ответ: б)