815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, с

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).

Сохраним обозначения из №814. Докажем, что точка Q, для которой

— центр сферы

Эйлера.

Если точка B₁ делит отрезок AH в соотношении 2:1, то

а если M₁ — центроид грани A₂A₃A₄, то согласно №366

по лемме 2 из №814

Отсюда

Аналогично находим остальные векторы

В №814 доказано, что все произведения

где i,j = 1,2,

3, 4, i≠j, равны между собой. Поэтому после раскрытия скобок получим

следовательно, все точки М_i и B_i лежат на сфере с центром Q.

Так как

то М₁ и В₁ — концы диаметра этой сферы; так как В₁ и H лежат на высоте A₁H₁, а H₁ и М₁ — на перпендикулярной ей грани А₂А₃А₄ то В₁Н₁М₁ и H₁ лежит на сфере. Аналогично на сфере лежат и точки H₂, H₃, H₄.