814. Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем точки О и H симметричны относительно точки G.
Лемма 1. (Геометрия 7—9, стр. 141, Геометрия 10— 11, стр. 94.). Все медианы в треугольнике A1A2A3 пересекаются в одной точке М, называемой центроидом треугольника, где для любой точки О![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-320.png)
(1)
и M делит каждую медиану в соотношении 2:1.
Если С1 - середина A2A3„ то (Геометрия 7—9, стр. 199)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-321.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-322.png)
Точка M, определяемая равенством (1), лежит на медиане А1С1 и делит её в соотношении 2 : 1. Действительно:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-323.png)
откуда
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-324.png)
и
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-325.png)
Для остальных
медиан доказательство аналогично.
Лемма 2. Все прямые, соединяющие вершины тетраэдра A1A2A3A4 с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке G (называемой центроидом тетраэдра), где
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-326.png)
Если М4 - центроид грани A1A2A3, то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-327.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-328.png)
следовательно,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-329.png)
откуда
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-330.png)
причем
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-331.png)
Для остальных прямых доказательство аналогично.
По условию все высоты тетраэдра A1A2A3A4 пересекаются в точке H. Пусть G - центроид тетраэдра; докажем, что точка С, для кото-
рой
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-332.png)
является центром описанной около тетраэдра сферы, то есть, что
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-333.png)
или
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-334.png)
Согласно лемме 2:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-335.png)
(2)
Аналогично
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-336.png)
(3)
Так как
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-337.png)
то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-338.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-339.png)
Аналогично равны друг другу все произведения вида
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-340.png)
где
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-341.png)
После раскрытия скобок в (2) и (3) все удвоенные произведения окажутся равными между собой, так что
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-342.png)
Аналогичны верны и остальные равенства (1). Так как
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-343.png)
то точки H, С и G лежат на одной прямой.
Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №814
к главе «Задачи повышенной трудности».