556. Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1 радиуса r1, где О1 — точка пересечения плоскости &al

556. Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O₁ радиуса r₁, где О₁ — точка пересечения плоскости α с осью РО, а r₁=PO₁/PO ⋅r (см. рис. 145).

Решение. Докажем сначала, что любая точка M₁, лежащая в плоскости α на окружности радиуса r₁ с центром O₁, лежит на некоторой образующей конуса, т.е. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой М точку пересечения луча РМ₁ с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников РО₁М₁ и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р) находим: ОМ = PO/PO₁ ⋅ O₁M₁ = PO/PO₁ r₁=r, т.е. точка М лежит на окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на котором лежит точка M₁, является образующей конуса.

Докажем теперь, что любая точка M₁, лежащая как в плоскости α, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса r₁ с центром O₁. Действительно, из подобия треугольников РО₁М₁ и РОМ (РМ — образующая, проходящая через точку М₁) имеем

Таким образом, окружность радиуса г₁ с центром О₁ является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.

Альтернативное решение

Дано: α ⊥ оси конуса РО.

Докажем, что

1) сечение конуса плоскостью α будет кругом с центром в точке О₁;

2)

Возьмем некоторую точку М₁ ∈ α и точку М₁ ∈ O₁(r₁). (на плоскости

α строим окружность с центром в точке О₁ и радиуса r и на этой окружности выбираем произвольную точку М₁).

Через точку Р и точку М₁ проводим прямую РМ₁, которая пересечет плоскость основания конуса в точке М. ΔРО₁М₁~ΔРОМ как прямоугольные, имеющие одинаковый острый угол.

при задан

ной точке Р и окружности O₁(r₁).

Тогда: точка М — произвольная, значит, все точки луча РМ₁, пересекающие плоскость основания конуса, лежат на окружности О(r), т.е. равноуда

лены от некоторой точки О на расстояние r, что видно из формулы. РМ — образующая конуса по определению.

4)    Образующие составляют коническую поверхность, поэтому докажем, что существует произвольная точка М₁ ∈ α, M₁ ∈ PM такая, что

M₁ ∈ O₁(r₁).

5)

(РМ — образующая).

при заданной точке Р и г.

Тогда: эта окружность будет сечением боковой поверхности, а круг, границей которого является O₁ (r₁), будет сечением конуса плоскостью α.