626. Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причем ∠ADB= ∠BDC=∠CDA = 2φ, AD = BD = CD. Найдите: а) АВ и AD; б) площадь сечения сферы плоскостью ABC.

а) Построим DK ⊥ плоскости АВС, проведем отрезки КВ, КС. (Чтобы не загромождать рисунок, показан только КА).

(по катету и гипотенузе).

Следовательно, КА=КВ=КС=r, r — радиус окружности, описанной около ΔАВС. Построим отрезок ОТ ⊥ плоскости АВС и отрезки ТА, ТВ, ТС.

ΔOTA=ΔОТВ=ΔOTC (они прямоугольные, ОТ — общий катет, ОА=ОВ=ОС=R, R — радиус сферы). тогда, ТА=ТВ=ТС=r, r — радиус окружности, описанной около ΔABC. Выше доказано, что КА=КБ=КС=r. Значит, точки Т и K совпадают и отрезок OD ⊥ плоскости АВС.

(по двум сторонам и углу между ними), следовательно, АВ=СВ=АС, ΔABC — равносторонний.

Пусть

Согласно теоремы синусов:

Пусть КА=КВ=КС=r, По теореме синусов для ΔАВС.

б) Сечение сферы плоскостью ΔАВС является окружность с радиусом

Вычислим площадь сечения