812. Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения.

При повороте пирамиды SABCD вокруг прямой p, параллельной АВ, отрезки A0A, SM, В0В, перпендикулярные р, займут соответственно положения A0A1, SM1, B0B1 в плоскости

SA2B2.

Поэтому тело, полученное при ее вращении, совпадает с телом, полученным при вращении многоугольника A1A2SB2B1. Его объем равен разности между объемом цилиндра, полученного при вращении прямоугольника A1B1B0A0, и объемами конусов, полученных при вращении равных треугольников A2A1S и B2B0S.

Из ΔASM:

Из ΔOSM:

но

поэтому объем тела

вращения равен

Комментарии