295. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб. Боковое ребро СС1 составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CC1⊥BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BD⊥АА1С1; г) плоскости АА1С1 и BB1D1 взаимно

295. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб. Боковое ребро СС₁ составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CC₁⊥BD; б) BB₁D₁D — прямоугольник; в) BD⊥АА₁С₁; г) плоскости АА₁С₁ и BB₁D₁ взаимно перпендикулярны.

а) Так как ∠С₁СВ = = ∠С₁СD, то проекция С₂ точки С₁ на плоскость ABCD попадает на биссектрису ∠BCD (рис. 186). Но биссектриса угла BCD — это AC и значит С₂С⊥BD. Тогда по теореме о трех перпендикулярах следует, что СС₁⊥BD.

б) BB₁D₁D — параллелограмм и ВВ₁ ⊥ ВD (так как ВВ₁ || СС₁ и СС₁ ⊥ ВD), значит ВВ₁D₁D — прямоугольник. в) ВD ⊥ А₁С (так как ВD ⊥ АС как диагонали ромба) и ВD ⊥ АА₁ (так как ВD || СС₁). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что ВD ⊥ AA₁C₁. г) Плоскость BB₁D проходит через прямую B₁D₁, перпендикулярную к плоскости АА₁С₁ так как B₁D || BD и BD⊥AA₁C₁. Поэтому по теореме п. 23 следует, что AA₁C₁⊥BB₁D₁.