Начните вводить часть условия (например, могут ли, чему равен или найти):
Глава III Многогранники. Дополнительные задачи
- 288. Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3.
- 289. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d — диагональ куба.
- 290. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.
- 291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол Θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
- 292. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
- 293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.
- 294. Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, содержащей две ее диагонали. Площадь полученного сечения равна So, а сторона основания равна а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
- 295. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб. Боковое ребро СС1 составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CC1⊥BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BD⊥АА1С1; г) плоскости АА1С1 и BB1D1 взаимно
- 296. Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость α, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол φ. Найдите площадь с
- 297. Основанием треугольной призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина А1 проектируется в его центр. Докажите, что: a) A1BD⊥АА1С1; б) АА1O⊥ВВ1С; в) грань ВВ1С1С — прямоугольник.
- 298. Основанием параллелепипеда с боковым ребром b является квадрат со стороной с. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
- 299. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна т, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.
- 300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна с, боковое ребро равно b.
- 301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины B до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.
- 302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см к 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
- 303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее вы
- 304. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
- 305. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
- 306. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- 307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.
- 308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см,проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты граней пирамиды.
- 309. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.
- 310. В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ=АС = 25 см, BC = 40 см, АН = 8 см, где АН — высота пирамиды.
- 311. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС= 13 см, АВ = 15 см, СВ= 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. б) Докажите, что основание перпендикуляр
- 312. В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол φ. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.
- 313. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
- 314. В правильной четырехуголькой усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7:3. Найдите стороны оснований пирамиды.
- 315. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
- 316. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.
- 317. Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.
- 318. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.
- 319. Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину, имеет правильный тетраэдр?
Комментарии