293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.

293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.

Заметим, что ВВ1D1D -- прямоугольник. а так как диагонали перпендикулярны, то это квадрат.

Пусть АВ = а. Тогда

Поэтому

Рассмотрим прямоугольник А1В1СD:

Тогда

но диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому А1О = В1О — а, где О — точка пересечения диагоналей А1С и B1D прямоугольника A1B1CD. Поэтому в ΔA1OB все стороны равны а, поэтому ∠AОВ = 60°, что и требовалось доказать.

Комментарии