293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.

293. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали B₁D и D₁B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А₁С и B₁D призмы равен 60°.

Заметим, что ВВ₁D₁D -- прямоугольник. а так как диагонали перпендикулярны, то это квадрат.

Пусть АВ = а. Тогда

Поэтому

Рассмотрим прямоугольник А₁В₁СD:

Тогда

но диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому А₁О = В₁О — а, где О — точка пересечения диагоналей А₁С и B₁D прямоугольника A₁B₁CD. Поэтому в ΔA₁OB все стороны равны а, поэтому ∠AОВ = 60°, что и требовалось доказать.