297. Основанием треугольной призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина А1 проектируется в его центр. Докажите, что: a) A1BD⊥АА1С1; б) АА1O⊥ВВ1С; в) грань ВВ1С1С — прямоугольник.

297. Основанием треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина А₁ проектируется в его центр. Докажите, что: a) A₁BD⊥АА₁С₁; б) АА₁O⊥ВВ₁С; в) грань ВВ₁С₁С — прямоугольник.

a)A₁C₁⊥BD, так как A₁C₁||AC и AC⊥BD, и A₁O⊥A₁C₁, так как A₁O⊥AC и AC||A₁C₁. Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С₁ ⊥ DA₁B. Значит по теореме п. 23 следует, что АА₁С₁ ⊥ A₁BD.

б) Аналогично п. а) ВС ⊥ АА₁О. Поэтому по теореме п. 23 АА₁О ⊥ВВ₁С. в) АО — проекция АА₁ на плоскость ABC и АО ⊥ ВС. Следовательно по теореме о трех перпендикулярах AA₁ ⊥ ВС и, так как AA₁|| ВВ₁, то ВВ₁ ⊥ ВС. Значит параллелофамм ВВ₁С₁С является прямоугольником.