307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.

307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.

а) Пусть точка K — середина MC, Тогда ОК||AM, поэтому точка K лежит в плоскости α. BKD — искомое сечение. ВК = DK (т.к. ΔMBC=ΔMDC). Поэтому OK⊥BD.

Из ΔСАМ: КО — средняя линия, значит

б) Рассмотрим MM₁ — перпендикуляр к плоскости BKD и проведем плоскость M₁MC. По теореме п. 23 видно CMM₁⊥BDK, поэтому СС₁ — перпендикуляр к BDK также лежит в плоскости MM₁C. Таким образом C₁, K, M₁ — лежат на одной прямой. Но тогда ∠MKM₁ = ∠CKC₁ (как вертикальные) и ΔMKM = ΔCKC₁ (по гипотенузе и острому углу). Значит MM₁ = CC₁, что и требовалось доказать.