318. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.

1) Найдем косинус двугранного угла тетраэдра: Пусть ребро тетраэдра DABC равно а. Проведем высоту DH и апофему DM грани DAC. Тогда ∠DMH — линейный угол двугранного угла правильного тетраэдра.

Таким образом

где а — двугранный угол тетраэдра. 2) Найдем косинус половины двугранного угла правильного октаэдра MABCDN:

Проведем апофему МН грани MAD и пусть MN пересекает плоскостью ABCD в точке О. Тогда точка О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD и МО⊥ABCD. Поэтому

следовательно, ∠MHO — линей ный угол двугранного угла

Таким образом

Таким образом

где β — половина двугранного угла правильного октаэдра. Тогда α + 2β — сумма двугранных углов тетраэдра и октаэдра.

Поэтому

что и требовалось доказать.