480. Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

а) Пусть О — центр симметрии, α — данная плоскость.

1. Пусть точку С ∈ а, построим отрезок СО и продолжим его за точку О на расстояние ОС₁ = ОС.

2. Пусть точка А ∈ а, построим отрезок АО и продолжим его за точку О на расстояние ОС₁=ОА.

3. Пусть точка В ∈ а, построим отрезок ВО и продолжим его за точку О на расстояние ОВ₁=ОВ.

4. Через точки А₁, В₁, C₁ проведем плоскость β.

5. Соединим точки А, В, С, А₁, В₁ и C₁ отрезками. ΔOАС=ΔO₁A₁C₁, т.к. ОА₁=ОА,

ОС₁=ОС и ∠АOC=∠A₁OC₁ как вертикальные.

Отсюда АС =А₁С₁.

Тогда ∠А₁С₁O=∠ACO, по признаку параллельности прямых А₁С||АС.

6. Для ΔOАВ и ΔOА₁В₁ проведем аналогичные рассуждения и получим, что ΔOАВ=ΔOА₁В₁. Тогда ∠А₁В₁O=∠АВO, по признаку параллельности прямых А₁В₁||АВ.

7. Если две пересекающиеся прямые (АС и АВ) в одной плоскости (а) соответственно

параллельны двум прямым (A₁C₁ и A₁B₁) другой плоскости (β), то эти плоскости параллельны. Итак, α||β, утверждение доказано.

б) Если точка О ∈ α, то любая точка плоскости β имеет симметричную ей точку относительно О, тоже принадлежащую плоскости α.

Тогда для А ∈ α ей симметричная точка А₁ ∈ α; для В ∈ α ей симметричная точка B₁ ∈ α; для С ∈ α ей симметричная точка C₁ ∈ α.

Через три точки А₁, B₁, С₁ принадлежащие плоскости β, можно провести единственную плоскость, соответственно, она совпадает с плоскостью α.