481. Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью угол φ.

а) Пусть а — ось симметрии, l || α. Из точки L ∈ l проведем LA⊥a; продолжим LA за точку А на расстояние АМ=LA.

Из точки L₁∈ l проведем L₁A₁⊥a продолжим L₁A₁ за точку А₁ на расстояние А₁М₁=L₁A₁.

Параллельные прямые a и l лежат в одной плоскости, тогда, четырехугольник LMM₁L₁ — плоский четырехугольник.

ML=M₁L₁ — по построению, ML⊥ l, M₁L₁ ⊥ l, следовательно, ML||M₁L₁ поэтому четырехугольник LMM₁L₁ — прямоугольник. Т.е.,

MM₁||L₁L, или l ||m.

б) Если a не параллельна l , то a пересекается с L в некоторой точке А.

Выберем некоторую точку N ∈ l, построим NE⊥a, продолжим отрезок NE за точку Е на расстояние EF=NE. Через точку F проведем прямую FA (m).

В треугольниках ΔAEF и ΔAЕN. NE=EF, АЕ - общий катет, таким образом, ΔAEF=ΔAEN, следовательно, ∠EAN=∠EAF=φ.

Таким образом, прямая m образует угол φ с осью симметрии.