573. Точки А и В лежат на сфере с центром O∉АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что: а) если М — середина отрезка АВ, то ОМ⊥АВ; б) если ОМ⊥АВ, то М — середина отрезка АВ.

Через три точки проходит единственная плоскость, то есть через точки А, В и О. Сечение — это окружность, проходящая через центр сферы.

а)    Проведем радиусы ОА и ОВ. ΔАОВ — равнобедренный, ОМ — медиана. Тогда, ОМ также и высота, то есть ОМ ⊥ АВ.

б)    Если ОМ ⊥ АВ, то ΔОМА=ΔОМВ. (ОМ — общий катет, ОА=ОВ=R). тогда, МА=МВ, точка М — середина АВ.