640. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро равно 2а. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

SO — высота пирамиды; SO=h.

Пусть О — центр основания пирамиды, М — середина ВС, АМ — высота в ΔАВС.

Центры обеих сфер лежат на прямой SO, SO ⊥ плоскости АВ.

Обозначим R — радиус описанной сферы. Продолжим SO до пересечения с описанной сферой в точке D. SD — диаметр шара, ∠SAD=90°. Из подобия треугольников OAS и ODA:

Проведем апофему SM.

Из ΔSMC:

поэтому из ΔSOM:

Вычислим радиус г вписанной сферы.

Примем Q — центр вписанного шара, следовательно в

ΔSOM; QM — биссектриса ∠SMO;

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: