639. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра.

а) Центр сферы совпадает с центром куба — точкой пересечения диагоналей куба.

Пусть

сторона основания и (его ребро) равно х. Тогда диагональ куба

С другой стороны,

Площади поверхностей одной

грани равна х², а полная поверхность куба равна 6х².

б) Н₁ и Н₂ — центры оснований призмы; Н₁Н₂ — высота призмы. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через диаметр оснований призмы. Сечение является прямоугольником АА₁В₁В.

Из прямоугольного ΔОА₁Н₁:

А₁Н₁ является радиусом описанной окружности около основания призмы, а в правильном 6-угольнике его сторона равна радиусу описанной окружности.

Пусть сторона основания равна х, следовательно,

в) Пусть ребро тетраэдра равно х. Центр описанной сферы лежит на высоте DH, точка Н —

центр ΔАВС, поэтому

Из прямоугольного ΔАDH:

Из ΔАОD по теореме косинусов :

Площадь грани тетраэдра равна

равны и их H,

значит