638. Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Тетраэдр — это пространственный четырехугольник.

а) Докажем, что через любые 4 точки, не лежащие в одной плоскости, можно провести сферу и притом только одну. (см.ниже).

Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка, является плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проведенная через его середину. Следовательно, центр сферы, описанной около тетраэдра, принадлежит каждой из плоскостей, проведенных через середины ребрер тетраэдра перпендикулярно к этим ребрам.

Пусть О — центр окружности, описанной около грани АВС тетраэдра, d— прямая, которая проходит через точку О, d ⊥ плоскости АВС. Все точки прямой d равноудалены от точек А, В и С. (ОА=ОВ=ОС=r — радиус описанной окружности). Если точка S ∈ d, то прямоугольные треугольники SOA, SOB, SOC равны двум катетам. Следовательно, SA=SB=SC.

Пусть плоскость α проходит через середину ребра DA и плоскость α ⊥ DA. Докажем, что d и α пересекаются. Предположим, что α || d.

Если α ⊥ AD и d ||α, то AD ⊥ d. Кроме того, d ⊥ АВ (поскольку d ⊥ плоскости АВС), и, значит d ⊥ ABD — по признаку перпендикулярности прямой плоскости.

Таким образом, через точку А проведены две различные плоскости АВС и АВD, перпендикулярные к одной прямой, что невозможно. Значит предположение, что d || α неверно.

Значит, пусть точка S точка пересечения d и α. Тогда SD=SA, т.к. S принадлежит каждой плоскости, проходящей через середину ребра тетраэдра и перпендикуляра к этому ребру.

О₁ ∈ плоскости АВС.

Пусть точка О равноудаленна от всех вершин тетраэдра.

Расстояние от точки О до одной из вершин тетраэдра обозначим R. Сфера с центром О и радиусом R проходит через все данные точки. Из этого доказательства следует, что такая сфера может быть только одна.

Что и требовалось доказать. б) Рассмотрим двугранный угол. Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих граней двугранного угла, это плоскость, которая делит двугранный угол пополам. Значит центр сферы, вписанной в тетраэдр, равноудален от всех граней пирамиды, и он должен принадлежать каждой из биссекторных плоскостей, то есть это точка пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов тетраэдра. Т.к. все точки биссекторной плоскости лежат между гранями двугранного угла, то центр сферы, вписанной в тетраэдр, всегда находится внутри тетраэдра.

Центр у вписанной сферы может быть только один. Сфера с радиусом, равным расстоянию от этой точки до плоскости какой-либо грани тетраэдра, касается всех граней тетраэдра. Следовательно, в любой тетраэдр можно вписать сферу и притом только одну.

Теперь докажем 2 факта, которые использовались в доказательстве.

1) В любой трехгранный угол можно вписать сферу.

2) Биссекторные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке.

1. М ∈ γ

∠AСB — линейный угол двугранного угла между плоскостями α и β.

Пусть γ делит этот двугранный угол так, что ∠BСМ=∠АСМ. Таким образом, γ биссекторная плоскость данного двугранного угла.

Докажем, что биссекторные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одному лучу.

β₁ и β₂ — биссекторные плоскости, их пересечение — луч, с началом в точке S — вершине тетраэдра. Луч обозначим 1. Пусть точка А ∈ l, A — произвольная точка луча. Проведем перпендикуляры АА₁, АА₂, АА₃ на грани трехгранного угла. А ∈ β₁ таким образом,

АА₂=АА_{1 ;} А ∈ β₂, поэтому АА₃=АА₁.

Тогда, АА₁=АА₂=АА₃, то есть точка А равноудалена от плоскостей граней NSB и MSB. Значит, точка А находится на биссек-торной плоскости двугранного угла с ребром SP. А т.к. точка А произвольная точка, то и весь луч находится в биссекторной плоскости.

Значит, все три биссекторные плоскости пересекаются по одному лучу, любая точка которых равноудалена.

2. Пусть l — луч, по которому пересекаются биссекторные плоскости трехгранного угла при вершине А, М — точка пересечения луча l и грани BDC.

Концы

отрезка АМ принадлежат разным граням двугранного угла при ребре ВС, поэтому биссекторная плоскость этого двугранного угла пересечет отрезок АМ в точке О ∈ l, поэтому она равноудалена от плоскостей АВС и ABD и AСD. Расстояние от точки О до плоскостей АВС и BСD равны, т.к. точка О принадлежит биссекторной плоскости двугранного угла при ребре ВС. Таким образом, точка О равноудалена от всех граней тетраэдра, то есть принадлежит всем биссекторным плоскостям двугранных углов тетраэдра. Таким образом, биссекторные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке.

Оба утверждения доказаны.