637. Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или ее продолжении.

а) В основаниях призмы лежат равносторонние треугольники. Пусть А и В — центры оснований.

Все точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенному через точку В к верхнему основанию призмы равноудалены от вершин треугольника PQR.

Все точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенному через т. А, к верхнему основанию призмы, равноудалены от вершин ΔP₁Q₁R₁. Т.к. призма правильная, то треугольники P₁Q₁R и PQR проектируются один на другой, следовательно, точка В проектируется в точку А и обратно. Поэтому, АВ ⊥ плоскости PQR. Тогда, отрезок АВ является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин каждого из треугольников. А его середина — точка О — равноудалена от вершин ΔP₁Q₁R₁ и от вершин ΔPQR на расстояние R, равное радиусу описанной около призмы сферы.

б) Построим из вершины D пирамиды высоту DH ⊥ плоскости АВС. Проведем отрезки НА, НВ, НС.

ΔDHA=ΔDHB=ΔDHC (они прямоугольные, DH — общий катет, АD=BD=BC — по условию).

НА=НВ=НС=r. r — радиус описанной около ΔАВС окружности.

Проведем отрезок ОG ⊥ плоскости ABC (точка G на рисунке не показана). Проведем отрезки GA, GB, GC, ОА, ОВ, ОС, ΔDCA=ΔOGB=ΔOGC (катет ОG — общий, ОА=ОВ=ОС —R, R — радиус сферы). Значит, GA=GB=GC=r, r — радиус окружности, описанной около AАВС. Следовательно, вокруг ΔАВС можно описать единственную окружность.

Точки Н и G совпадают, и точки D, H, O лежат на одной прямой. Следовательно, центр сферы О лежит на высоте пирамиды DH или на продолжении за точку Н, что и показано на рисунке.