641. В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Продолжим высоту пирамиды РН до пересечения со сферой в точке Q. PQ — диаметр и центр описанной сферы лежит на высоте НР, или на ее продолжении за точку Н. Соединим отрезком точку А с точкой Н. Рассмотрим сечение плоскостью APQ.

∠QAP=90° так как опирается на диаметр, Из подобия ΔHPA и ΔHAQ ,

Примем х — сторона основания, следовательно,

Следовательно,

Построим HL ⊥ AB, отрезок PL.

плоскость PLH ⊥ плоскости

АВР. Пусть О — центр вписанной сферы, ОК ⊥ PL.

OL — биссектриса ∠HLP.

Обозначим ∠HLP= φ.

Из ΔOLH:

Решим систему:

Разделим все на 4h, h ≠ 0

Подставим х² из (4)

Разделим обе части на 2h, h ≠ 0