785. Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.

Прямая, соединяющая любые две противоположные вершины правильного додекаэдра, является для него осью симметрии 3-го порядка, то есть при повороте вокруг нее на 120° или 240° додекаэдр совмещается с собой.

Пусть А — вершина додекаэдра, O₁, O₂, O₃ центры прилежащих граней (рис, 583). При повороте на 120° вокруг проходящий через A

оси 3-го порядка О, совмещается с O₂, O₂ — с O₃, O₃ — O₁; следовательно, треугольник — правильный. Таким же образом используя ось, проходящую через В, убеждаемся, что треугольник O₂O₃O₄ правильный и равный треугольнику O₁O₂O₃. Продолжая аналогично, получаем 20 равных между собой правильных треугольников. Многоугольник, который они составляют — выпуклый, из каждой его вершины исходит 5 ребер. Он является поэтому правильным икосаэдром.