![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-93.png)
поверхность Ps с числом
граней fs, ребер ks и вершин es.
Докажем индукцией по числу граней, равному
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-94.png)
что
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-95.png)
(1)
При
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-96.png)
(то есть s = f— 1) равенство (1) верно, так как тогда
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-97.png)
откуда
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-98.png)
Пусть (1) верно для
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-99.png)
, докажем (1) для
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-100.png)
Разрежем
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-101.png)
по ломаной, соединяющей две вершины, лежащие
на краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. Получим поверхности
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-102.png)
соответственно с
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-103.png)
гранями,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-104.png)
ребрами,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-105.png)
вершинами. Так как
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-106.png)
то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-107.png)
(2)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-108.png)
(3)
Пусть n — число ребер разреза; тогда число его вершин n + 1. Если сосчитать число ребер или вершин на
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-109.png)
и результаты сложить, то каждое ребро или вершина разреза будут сосчитаны дважды; поэтому
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-110.png)
кроме
того,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-111.png)
Тогда, складывая (2) и (3), получим
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-112.png)
то есть
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-113.png)
и (1)
доказано для
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-114.png)
Тем самым (1) верно для любого fs.
В частности, при
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-115.png)
(то есть при s=1) имеем
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-116.png)
так как
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-117.png)
то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-118.png)
Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №784
к главе «Задачи повышенной трудности».