784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на 2 (теорема Эйлера).

Пусть выпуклый многогранник имеет f граней, k ребер и е вершин. Отделив от него какую-нибудь грань, получим многогранную поверхность Р₁. Отделив от P₁ грань, прилежащую к его краю, получим многогранную поверхность Р₂. Продолжая этот процесс, получим через s шагов

поверхность P_s с числом

граней f_s, ребер k_s и вершин e_s.

Докажем индукцией по числу граней, равному

что

(1)

При

(то есть s = f— 1) равенство (1) верно, так как тогда

откуда

Пусть (1) верно для

, докажем (1) для

Разрежем

по ломаной, соединяющей две вершины, лежащие

на краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. Получим поверхности

соответственно с

гранями,

ребрами,

вершинами. Так как

то

(2)

(3)

Пусть n — число ребер разреза; тогда число его вершин n + 1. Если сосчитать число ребер или вершин на

и результаты сложить, то каждое ребро или вершина разреза будут сосчитаны дважды; поэтому

кроме

того,

Тогда, складывая (2) и (3), получим

то есть

и (1)

доказано для

Тем самым (1) верно для любого f_s.

В частности, при

(то есть при s=1) имеем

так как

то