783. Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите также, что можно построить ломаную, обладающую указанным

783. Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите также, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.

Пусть u_i, — длина i-го отрезка ломаной, х_i, у_i, z_i - длины его проекций на три ребра куба с общей вершиной. Согласно условию проекции отрезков не имеют общих точек, следовательно

в соответствии с этим

Отсюда

Пусть теперь куб на рисунке — данный, его ребро равно 1, и ломаная АВ₀C₀C лежит внутри куба. Если точки B₀ и С₀ достаточно близки к В и С, то длина этой ломаной сколь угодно близка к длине ломаной АВСС₁, то есть к 3.