441. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами: а) В1В и В1С; б) DA и B1D1; в) А1С1 и А1В; г) ВС и АС; д) ВВ1 и АС; е) В1С и AD1; ж) A1D1 и ВС; з) АА1 и С1С.

441. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами: а) В₁В и В₁С; б) DA и B₁D₁; в) А₁С₁ и А₁В; г) ВС и АС; д) ВВ₁ и АС; е) В₁С и AD₁; ж) A₁D₁ и ВС; з) АА₁ и С₁С.

Сделаем рисунок.

а) Векторы ВВ₁ и В₁С совпадают с катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника BВ₁С, следовательно, ВВ₁С=45°.

б) BD = B₁D₁ , т.к. они сонаправлены и имеют одинаковую длину. BD = B₁D₁ =- DB .

Угол между DB и DA — угол между стороной и диагональю квадрата, т.е. α=45°. Тогда угол между

DA и B₁D₁ равен 135°.

в) A₁C₁ и A₁B совпадают со сторонами равностороннего треугольника АВС и отложены из одной точки. Следовательно, угол 60°.

г)

(угол между стороной и диагональю

квадрата).

д)

е)

Пусть О — точка пересечения диагоналей В₁С и ВС₁,

квадрата ВВ₁С₁С.

следовательно,

ж)

следовательно,

з)

следовательно, угол между ними равен 180°