78. На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1, на ребрах которого отмечены точки М, N, М1 и N1 так, что AM = CN=A1M1 = C1N1. Докажите, что MBNDM1B1N1D1 — параллелепипед.

78. На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, на ребрах которого отмечены точки М, N, М₁ и N₁ так, что AM = CN=A₁M₁ = C₁N₁. Докажите, что MBNDM₁B₁N₁D₁ — параллелепипед.

ABCD - параллелограмм по условию,

то есть

Но

→ по признаку параллелограмма,

MBND - параллелограмм.

Аналогично получим, что N₁B₁M₁D₁ - параллелограмм.

- как углы с соответственно параллельными и

одинаково направленными сторонами.

Параллелограммы MBND и M₁B₁N₁D₁ равны, так как равны их

соответствующие стороны

и угол между ними (п. 5).

поэтому

- параллелограмм,

Аналогично,

- параллелограмм,

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны, поэтому

По признаку параллелограмма 4-угольники МВВ₁М₁, BNN₁B₁, DNN₁ D₁ и MDD₁ M₁ - параллелограммы.

По определению (п. 13) MBNDM₁B₁N₁D₁ - параллелепипед.