769. Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

Если DD₀ — данная высота данного тетраэдра ABCD и AA₁ || ВС, то по условию AD₀ ⊥ ВС и, следовательно, AD₀⊥AA₁ (рис. 570). По теореме о трех перпендикулярах AD ⊥ AA₁ и, значит, AD ⊥ ВС. Аналогично (D₀ - пересечение всех трех высот) АВ ⊥ DC и AC ⊥ BD.

Пусть теперь СС₀ — любая другая высота тетраэдра и DD₁ || АВ. Так как АВ ⊥ DC, то DD₁ ⊥ DC и по обратной теореме о трех перпендикулярах (№ 153) DD₁ ⊥ C₀D, так что АВ ⊥ С₀D то есть С₀ лежит на высоте треугольника ABD; аналогично С₀ лежит и на остальных его высотах.