770. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. Докажите, что площадь треугольника АОВ равна среднему геометрическому площадей треугольников ABC и O1АВ, где O1 — проекция точки О на плоскость ABC.

Так как OO₁ ⊥ ABC и АО⊥ОВС, то AOO₁ ⊥ ABC и АОО₁ ⊥ ОВС;

тогда согласно задаче

№ 183

Аналогично AC ⊥ BO₁ но тогда по теореме о пересечении высот и СО₁ ⊥ АВ. Пусть

Поскольку

то

Источник:

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №770
к главе «Задачи повышенной трудности».

Все задачи

← 769. Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

771. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора). →

Комментарии