762. Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?

Пусть ребро куба равно а. Площадь поверхности куба равна 6а².

Пусть радиус шара ОА=b. Площадь поверхности шара

Пусть радиус основания цилиндра равен с, тогда АВ=Н=2с.

Пусть радиус основания конуса равен d, тогда РО=Н=2d.

(из

условия).

Выразим a, с и d через b.

Объем куба равен а³;

Объем шара равен

Объем цилиндра равен

Объем конуса равен

Сравним объемы тел. Т.к. все они выражены через радиус шара b, то остается сравнивать коэффициенты при b³.

— общий множитель. Следовательно, остаются числа:

Сравним числа (1) и (2).

Т.к. π<6, то

Сравним теперь (1) и (3).

Т.к.

Таким образом, установлено, что

Сравним теперь (4) и (1).

Т.к.

Таким образом, числа расположены в следующем порядке:

Им соответствует объемы тел: