753. В усеченный конус, радиусы оснований которого равны, r и r1, вписан шар. Найдите отношение объемов усеченного конуса и шара.

Рассмотрим осевое сечение конуса.

Н₁,H₂ — центры оснований. ABCD — сечение, которое является равнобедренной трапецией.

Обозначим радиус вписанного шара а.

Высота конуса есть диаметр шара, Н₁Н₂=2а.

В описанном 4-угольнике суммы противоположных сторон равны. ВС+AD=AB+CD=2AB.

Обозначим АВ=l, следовательно 2r₁+2r=2l, l=r₁+r.

Построим ВК перпендикулярно AD. АК=г-r₁, ВК=Н₁Н₂=2а.

Из прямоугольного треугольника АВК:

Подставляя выражение для а в формулу (1), получаем: