488. Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

а) Пусть а || b, а ⊂ α, b ⊂ α. Пересечем а и b прямой с, следовательно ∠1=∠2 как внутренние накрест лежащие при параллельных а, b и секущей с. Примем следующие обозначения (смотри рисунок):

М и N — произвольные точки, лежащие по разные стороны от секущей АВ.

При движении ∠МAB перейдет в равный ∠М₁A₁B₁, a ∠ABN — в равный угол ∠A₁B₁N₁. Т.к. при движении плоскость α переводится в плоскость β, то прямые A₁M₁ и B₁N₁ лежат в одной плоскости β.

Отмеченные углы — ∠1 и ∠2, являются внутренними накрест лежащими, а если ∠1=∠2, то по признаку параллельности прямых М₁A₁ || B₁N₁, или а₁ || b₁. тогда, а → а₁, а || а₁ и b → b₁, b || b₁.

б) α || β. Пересечем α и β плоскостью С, получим две параллельные прямые A₁B₁ || АВ.

На линии пересечения плоскости С с плоскостью β через некоторую точку А₁ проведем плоскость Q, пересекающую α и β по параллельным прямым А₁С₁ и АС.

Построим отрезки B₁С₁ и ВС. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны, тогда АА₁=ВВ₁=СС₁.

АВСА₁B₁С₁ — призма. При движении угол отображается на равный ему угол, расстояния между точками сохраняются. При этом, очевидно, основания призмы — ΔA₁B₁C₁ и ΔАВС остаются параллельными друг другу, и плоскости, которые можно провести через вершины A, В, С и A₁, B₁, C₁, будут также параллельны друг другу.