487. Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отрезок; б) угол отображается на равный ему угол.

а) АС — заданный отрезок, АС ⊂ а.

При движении А → А₁, С → С₁. Докажем, что весь отрезок АС отображается на отрезок А₁C₁.

Возьмем произвольную точку В ∈ АС. При движении В → В₁. АВ+ВС=АС. Т.к. при движении расстояния между точками сохраняются, то A₁B₁=АВ, B₁C₁=ВС, A₁C₁=АС. Тогда А₁С₁=А₁В₁+В₁С₁. Равенство выполняется только когда точки A₁, В₁, С₁ лежат на одной прямой, иначе по неравенству треугольника А₁С₁ < А₁B₁+В₁C₁, таким образом, точки отрезка АС отображаются в точки отрезка А₁С₁.

б) ∠AOB — лежит в плоскости α.

При движении О → О₁, А → А₁, В → В₁, при этом ОА=О₁А₁ и OB=O₁B₁ AB=А₁В₁ и ΔOAB = ΔO₁А₁В₁ по трем сторонам, тогда ∠АOВ=∠А₁В₁С₁.

Если ∠АOВ=180°, то ∠А₁O₁В₁=180°.

Доказательство:

На сторонах развернутого угла возьмем точки А и В. При движении А→A₁, B→B₁, так что АВ=А₁В₁ , так что АВ=А₁В₁; О→О₁ при движении АО=А₁О₁ и О₁В₁=ОВ. Итак, АО₁+О₁В₁=А₁В₁.

Точки А₁, О₁, B₁ лежат на одной прямой, точки А₁ и В₁ лежат по разные стороны от точки О₁, тогда, ∠А₁О₁В₁ — развернутый, т.е. ∠А₁О₁В₁

= 180°, что и требовалось доказать.