788. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. На сонаправленных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости ABC, взяты точки D и Е так, что BD=a/√2 , СЕ = а√2. Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями ABC и ADE.
Пусть![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-131.png)
и
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-132.png)
Тогда
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-133.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-134.png)
Из ΔABD:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-135.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-136.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-137.png)
из (1), (2), (3) и по теореме, обратной теореме Пифагора,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-138.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-139.png)
В ΔFBA:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-140.png)
По теореме о трех перпендикулярах
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-141.png)
и
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-142.png)
искомый угол между плоскостями. Из ΔАСЕ
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-143.png)
Источник:
Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №788
к главе «Задачи повышенной трудности».
Комментарии