82. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку М грани АА1В1В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани ВВ1С1С; в) плоскости BDD1.

82. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте внутреннюю точку М грани АА₁В₁В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани ВВ₁С₁С; в) плоскости BDD₁.

а)

Построение

Плоскость сечения по условию || пл. ABCD, следовательно, она пересекает грани параллелепипеда по прямым, параллельным АВ, DC, BC и AD (это следует из теоремы II). Отсюда способ построения:

1. через т. М проводим PQ || AB;

2. через т. Q проводим QR || BC;

3. через т. Р проводим PS || AD;

4. соединим точки S и R;

PQSR - искомое.

б)

По теореме II, плоскость сечения пересечет боковые грани по прямым, параллельным АА₁ и DD₁, а плоскости оснований - по прямым, параллельным A₁D₁ и AD. Отсюда:

1. через т. М проводим PQ || AA₁;

2. через т. Q проводим QR || A₁D₁ и через т. Р проводим PS || AD;

3. соединим точки R и S;

4. сечение PQRS - искомое.

в)

1) Построим плоскость BDD₁; она пересечет плоскости верхнего и нижнего основания по параллельным прямым. BD || B₁D₁ (соединив В₁ и D₁, получим параллелограмм BB₁D₁D).

2) Плоскость сечения по условию параллельна пл. BB₁D₁D, значит, она параллельна BB₁D₁D.

По теореме II получим, что если плоскость боковой грани АА₁В₁В проходит через прямую ВВ₁, а ВВ₁ параллельна плоскости сечения и пересекает плоскость сечения, то линия пересечения боковой грани с сечением параллельна прямой В₁В, получим построение:

1. через т. М проводим PS || B₁B;

2. через т. Р проводим PQ || B₁D₁;

3. через т. S проводим SR || BD;

4. соединим т. Q и т. R;

5. сечение PQRS - искомое сечение.