772. Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?

Данные точки являются вершинами тетраэдра. Они не могут лежать все по одну сторону от искомой плоскости, тогда как они лежали бы в одной плоскости, параллельной этой плоскости. Аналогично ни одна из них не лежит в искомой плоскости. Поэтому возможны лишь два случая:

1) По одну сторону от искомой плоскости лежат три данные точки, по другую — одна. Плоскость походит через середины ребер тетраэдра, исходящих из одной вершины. Расстояния равны половине высоты тетраэдра, исходящей из этой точки.

2) По одну сторону от плоскости две точки, по другую — также две. Плоскость проходит через середины ребер, исходящих из двух

вершин. Расстояния равны половине расстояния между скрещивающимися ребрами, то есть расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти ребра.

Первому условию удовлетворяют четыре плоскости, второму — три; всего имеем семь плоскостей.

Источник:

Решебник по геометрии за 10 класс к учебнику Геометрия. 10-11 класс Л.С.Атанасян Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №772
к главе «Задачи повышенной трудности».

Все задачи

← 771. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).
773. Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра. →
Комментарии