199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Дано:

Решение:

1. ΔASB - равнобедренный, SM - медиана, поэтому SM ⊥ AB (это высота).

2. Проведем отрезок СМ. в пл. SCM проведем SO L СМ. Точку О соединим с вершинами А, В и С.

AS, BS, CS - равный наклонные, поэтому их проекции также равны, то есть ОА = ОВ= ОС = R, R - радиус описанной окружности около ΔАВС.

Итак, SM ⊥ пл. АВС.

Что и требовалось доказать.

Источник:

Решебник по геометрии за 10 класс к учебнику Геометрия. 10-11 класс Л.С.Атанасян Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №199
к главе «Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей.».

Все задачи

← 198. Точка А лежит в плоскости α, а точка В удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок АВ в отношении 4:5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника. →
Комментарии