Решение:
1. Проведем РМ ⊥ α и QN ⊥ α; через середину АВ точку О - проведем отрезки OQ и ОР, соединим точки О и N, О и М.
- по свойству медианы в равнобедренном ΔABQ.
- по свойству медианы в равнобедренном ΔАВР.
по теореме, обратной к теореме
о 3-х перпендикулярах;
по теореме, обратной к теореме
о 3-х перпендикулярах.
В α через т. О к отрезку АВ можно провести единственный перпендикуляр, поэтому точки М, О, N лежат на одной прямой MN.
PM || QN, через них можно провести единственную плоскость MPQN, АВ ⊥ пл. MPQN.
Рассмотрим два случая:
Случай I. PQ || a.
Тогда
и угол между PQ и АВ равен углу меж
ду MN и АВ. А угол между MN и АВ равен 90о.
Случай II. Продолжение PQ пересекает плоскость α.
Тогда MN есть проекция продолженного отрезка PQ на пл. α.
Ответ: 90о.
Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №201
к главе «Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей.».