* Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.
а). Построим ОК ⊥ ВС, отрезок DK. По теореме о трех перпендикулярах DK⊥ВС. В правильном ΔАВС, ОК — радиус вписанной в ΔАВС окружности. Примем ОК=r.
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-506.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-507.png)
где р — полупериметр ΔАВС.
Из равенства
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-508.png)
(теорема синусов для ΔАВС) найдем а — сторону ΔАВС
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-509.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-510.png)
Из прямоугольного ΔDOK:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-511.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-512.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-513.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-514.png)
б) Построим ОК ⊥ AD, отрезок РК. По теореме о трех перпендикулярах РК⊥AD.
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-515.png)
В квадрате диагональ ВD=2R, R — радиус описанной окружности около квадрата, ВD=2 • 3. Примем сторона квадрата равна а см, следовательно
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-516.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-517.png)
Из прямоугольного ДРОК:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-518.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-519.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-520.png)
(боковые грани являются равнобедренными треугольниками);
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-521.png)
в) РО — высота конуса. Построим
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-522.png)
отрезок РК. По теореме о трех перпендикулярах
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-523.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-524.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-525.png)
— правильный 6 — угольник. Сторона правильного 6-тиугольника равна радиусу описанной окружности.
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-526.png)
ОК — радиус вписанной в правильный 6-угольник окружности.
По теореме из планиметрии,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-527.png)
Из прямоугольного ДРОК:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-528.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-529.png)
Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники, поэтому
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-530.png)
A1ОА6 — равносторонний, поэтому
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-531.png)
Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №617
к главе «Глава VI. Цилиндр, конус и шар. Дополнительные задачи».