617. Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус*, если: а) n = 3; б) n= 4; в) n = 6.

* Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

а). Построим ОК ⊥ ВС, отрезок DK. По теореме о трех перпендикулярах DK⊥ВС. В правильном ΔАВС, ОК — радиус вписанной в ΔАВС окружности. Примем ОК=r.

где р — полупериметр ΔАВС.

Из равенства

(теорема синусов для ΔАВС) найдем а — сторону ΔАВС

Из прямоугольного ΔDOK:

б) Построим ОК ⊥ AD, отрезок РК. По теореме о трех перпендикулярах РК⊥AD.

В квадрате диагональ ВD=2R, R — радиус описанной окружности около квадрата, ВD=2 • 3. Примем сторона квадрата равна а см, следовательно

Из прямоугольного ДРОК:

(боковые грани являются равнобедренными треугольниками);

в) РО — высота конуса. Построим

отрезок РК. По теореме о трех перпендикулярах

— правильный 6 — угольник. Сторона правильного 6-тиугольника равна радиусу описанной окружности.

ОК — радиус вписанной в правильный 6-угольник окружности.

По теореме из планиметрии,

Из прямоугольного ДРОК:

Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники, поэтому

A₁ОА₆ — равносторонний, поэтому