469. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M:MD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) ABCD; б) DD1C1C; в) AA1D1D.

469. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M:MD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) ABCD; б) DD1C1C; в) AA1D1D.

Обозначим стороны через а.

Введем прямоугольную систему координат, как

показано на рисунке. Тогда

где φ — угол между прямой и плоскостью; Θ — угол между прямой и ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости.

a) DD1 ⊥ плоскости ABCD,

6) DA ⊥ плоскости DD1C1C,

в) DC ⊥ плоскости AA1D1D,

Комментарии