633. Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

Рассмотрим для простоты треугольную правильную пирамиду. SD — высота пирамиды. Построим AE⊥BC , отрезок SE. По теореме о трех перпендикулярах SE⊥CB.

Впишем в ΔSDE полуокружность DFG. Центр О окружности лежит на катете SD, и касается сторон DE и SE. ΔSED вместе с полуокружностью DFG повернем вокруг SD. Тогда точка E опишет окружность, вписанную в ΔABC , то есть гипотенуза SE при вращении останется внутри пирамиды, кроме трех положений, когда SE совпадает с высотой боковых граней.

Т.е. сфера, образованная вращением полуокружности DFG, имеет единственную общую точку с каждой из боковых граней. Эта сфера касается основания пирамиды в точке D.

Центр вписанной в пирамиду ΔABC сферы лежит на высоте SD.