634. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы многогранника, если этот многогранник является: а) кубом; б) правильной шестиугольной призмой; в) правильным тетраэдром.

а) Рассмотрим сечение, проходящее через ось. Получим квадрат и вписанную в него окружность, ее радиус равен радиусу сферы. Обозначим ребро куба через x; x = 2 R. Площадь одной грани равна x², или 4R².

б) Высота призмы О₁О равна диаметру сферы; точки касания сферы с боковыми гранями лежат в сечении призмы плоскостью, которая проходит через середину высоты призмы (центр сферы) перпендикулярно к боковым ребрам.

Пусть сторона правильного 6-угольника равна х, тогда

Боковая грань — прямоугольник, его площадь равна H•x или

Вычислим площадь боковой поверхности:

Площадь основания состоит из площадей 6-ти равносторонних треугольников, площадь каждого из которых равна

Тогда площадь основания равна

в) Все ребра тетраэдра равны; пусть они равны х. Построим АК ⊥ ВС, отрезок DK. В правильном ΔАВС АК проходит через центр ΔАВС. По теореме о трех перпендикулярах DK ⊥ ВС. ∠АKD — линейный угол двугранного угла при основании тетраэдра (все двугранные углы равны).

ΔOKL=ΔOKH, ОК — биссектриса ∠АKD.

Из ΔDBK

HK — радиус вписанной окружности,

Пусть ∠DKH= φ В ΔDKH:

из ΔОНК:

отсюда

Грани правильного тетраэдра — это равные равносторонние треугольники, поэтому площадь полной поверхности