183. Плоскости α и β пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости γ. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости γ.

* В задачах этого параграфа двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D, для краткости будем называть так: двугранный угол CABD.

Дано:

Решение:

Докажем следующее:

если две плоскости (α и β) взаимно перпендикулярны и к одной из них (к β) проведен перпендикуляр (АВ), имеющий общую т. (А) с другой плоскостью (α), то этот перпендикуляр весь лежит в этой плоскости (а).

Это утверждение доказано в задаче 179.

Выберем произвольную т. А на линии пересечения а и в.

Проведем перпендикуляр к пл. γ.

По доказанному выше, этот перпендикуляр должен принадлежать и пл. а и пл. в, то есть

он сливается с линией пересечения плоскостей, то есть с АВ. Утверждение доказано.