790. Основание ABC тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание ABC под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по отношению к входящему лучу. (На этом свойстве основано устройство уголкового отражателя, который, в частности, был запущен на Луну для измерения расстояния до нее с помощью лазера.)
Направим оси координат вдоль ребер ОА, ОВ, ОС. Продолжение данного луча с направляющим вектором![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-150.png)
и луч, отраженный от плоскости Оху, симметричны относительно этой плоскости. Поэтому вектор
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-151.png)
является направляющим вектором отраженного луча
Действительно,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-152.png)
где вектор
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-153.png)
лежит в плоскости Оху, а векторы
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-154.png)
перпендикулярны к плоскости Оху, противоположно направлены и имеют равные длины.
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-155.png)
Аналогично
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-156.png)
направляющий вектор луча, отраженного or Oxz, а вектор
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-157.png)
• направляющий вектор луча, отраженного от Оуz. Но тогда
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-158.png)
следовательно, направления входящего и выходящего лучей противоположны.
Замечание: в данной задаче существенно, что луч успевает отразится от всех граней тетраэдра.
Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №790
к главе «Задачи повышенной трудности».