472. Дан куб MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что прямая РМ1 перпендикулярна к плоскостям MN1Q1 и QNP1.

Введем прямоугольную систему координат. С началом координат в т. D и осями, направленными вдоль ребер ОА, ОВ, ОС. Обозначим сторону куба через а. Тогда:

1)

PM₁ и MQ₁ — направляющие векторы прямых PM₁ и MQ₁, угол между ними равен углу между этими прямыми.

следовательно, угол между прямыми

РМ₁ и МQ₁ равен 90°.

Докажем, что прямая MN₁, пересекающая прямую MQ₁ в точке М и лежащая в плоскости MN₁Q₁, перпендикулярна прямой РМ₁.

— направляющие векторы этих прямых.

Доказали, что РМ₁ ⊥ MQ₁; РМ₁ ⊥ MN₁ лежит в плоскости MN₁Q₁; MN₁ лежит в плоскости MN₁Q₁. Эти прямые пересекаются в точке М. Значит, РМ₁ ⊥ плоскости MN₁Q₁.

2) Прямые QN и QP₁ лежат в плоскости QNP₁ и пересекаются в точке Q.

Таким образом, прямая РА₁ ⊥ плоскости QNP₁.