591. Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.

Построим сечение плоскостью, проходящей через центр шара, (точку О), и перпендикулярной ребру двугранного угла MN. Тогда построенная плоскость перпендикулярна α и β. Проведем ОВ перпендикулярно к плоскости α и ОА перпендикулярно к плоскости β. OB = OA = R.

ОА ⊥ β, АС ⊥ MN (по построению).

ОС⊥МN — по теореме о трех перпендикулярах.

ОС — расстояние от центра сферы до ребра MN, ОС=а. ΔОВС=ΔОАС (ОВ=ОА=R, ОС — общая), тогда ОС — биссектриса угла ∠АСВ, ∠АСВ=120^o,

тогда, ∠ОСА= 60 °. Из ΔОСА имеем:

AB — расстояние между точками касания.

ΔАОВ — равнобедренный, ∠ОСА=60^o, тогда,

ΔАОВ — равносторонний,