80. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями АВС1 и DCB1, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.

а) Сечение плоскостью АВС₁.

по свойству параллелепипеда, отсюда

Тогда А - общая для плоскостей АВС₁ и AA₁D₁D - плоскости пересекаются по прямой, проходящей через т. А и параллельной ВС₁ (п. 11, 1^о).

Плоскости граней АА₁В₁В и DD₁C₁C пересечены плоскостью ABC₁D₁, значит, их линии пересечения параллельны, AB || C₁D₁.

Вывод: плоскость пересекает грань AA₁D₁D по прямой AD₁; AD₁|| BC₁.

Искомое сечение ABC₁D параллелограмм по определению.

б) Сечение плоскостью DCB₁.

Точка D - общая для плоскостей DCB₁ и AA₁D₁D - плоскости пересекаются по прямой, проходящей через т. D и параллельной прямой СВ₁ (п. 11, 1^о). В пл. грани AA₁D₁D проводим такую прямую. Это будет DA₁ (4-угольник DCB₁A₁ - параллелограмм, поэтому DA₁ || CB₁).

Искомое сечение DCB₁A₁.

в) PQ - отрезок, по которому пересекаются построенные сечения (Р ∈ плоскостям сечений и Q ∈ плоскостям сечений, PQ - линия пересечения плоскостей), где Р и Q - центры граней AA₁D₁D и ВВ₁С₁С.