620. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиу

620. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см.

а) Вычислим длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

Диаметр сферы равен 2 • 1,5=3 (см).

Вывод: диаметр сферы равен длине гипотенузы, следовательно, центр сферы находится на середине гипотенузы, и лежит в плоскости треугольника. б) Плоскость ΔАВС пересекает сферу по окружности.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Проведем из точки О отрезок ОК ⊥ плоскости ΔАВС, отрезки КА,

КВ, КС. Равные наклонные (радиусы ОА, ОВ, ОС) имеют равные проекции на плоскость АВС, тогда,

КА=КВ=КС, точка К равноудалена от вершин ΔАВС, значит, она — центр описанной окружности. Таким образом, точка К — середина гипотенузы АС, ОК — искомое расстояние.

Из ΔАВС по теореме Пифагора

Источник:

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №620
к главе «Глава VI. Цилиндр, конус и шар. Дополнительные задачи».

Все задачи

← 619. Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

621. Расстояние от центра сферы радиуса R до данной прямой равно d. Докажите, что: а) если d<R, то прямая пересекает сферу в двух точках; б) если d = R, то прямая имеет только одну общую точку со сферой; в) если d>R, то прямая не имеет со сферой ни →

Комментарии