619. Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы;

б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

а)    Проведем произвольную прямую через центр сферы. Прямая пересечет сферу в точках А и В. Отрезок AB будет диаметром, ½AB — радиус сферы. Расстояние от каждой из точек до центра сферы равно, значит, центр сферы будет центром симметрии двух данных точек. Т.к. прямая проводилась произвольно, то утверждение справедливо для любых двух точек, являющихся концами диаметра сферы.

б)    Построим произвольную прямую а, которая проходит через центр сферы О. Докажем, что она является осью симметрии. Возьмем произвольную точку А на сфере. Построим точку симметричную ей относительно О. Для этого проведем АК ⊥ а и продолжим за точку R на расстояние АК. Получим точку А₁ (по 2-м катетам) ОА, ОА=R. Но сфера — геометрическое место точек удаленное от т.О на расстояние R. Значит А₁ лежит на сфере.

Значит, при симметрии произвольная точка сферы переходит в точку этой же сферы. Тогда прямая а — любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы.

в)    Возьмем произвольную плоскость α , которая проходит через центр сферы. Докажем, что для любой точки А симметричная ей относительно а точка А, также лежит на сфере.

Действительно, при построении симметричной точки мы проведем отрезок АК а (К а) и продолжаем его за точку К так, чтобы АК=КА₁. ΔАКО=ΔА₁ КО (ОК=ОК, АК=А₁К — по двум катетам). А₁О=АО < R, т.е. А₁ удалена от точки О на расстояние R. Следовательно, что А₁ лежит на сфере. Следовательно, для любой точки А симметричная ей точка также лежит на сфере, а значит α — плоскость симметрии.