765. Дан тетраэдр, все ребра которого равны. Докажите, что периметры фигур, которые получаются при пересечении этого тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным ребрам, равны.

Данное сечение MNKL данного тетраэдра ABCD — параллелограмм (учебник, стр. 29).

Так как

ΔABD, ΔBCD, ΔMBN, ΔNDK-равносторонние, то MN = NB и NK =

= ND; следовательно, если АВ = а,

MN = x, NK = y, тo y = ND = BD - NB = a - x. Поэтому периметр сечения равен 2х + 2у = 2х + 2(а — х) = 2а и является постоянным.