423. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами A (x1; y1; z1), В (x2; y2; z2), С (x3; y3; z3) имеет координаты

Пусть AA₁, ВВ₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC, а M — точка их пересечения. Докажем, что точка M имеет координаты

Координаты точки равны координатам ее радиус-вектора. Выберем произвольно начало координат и начертим радиус-векторы

Их координаты будут соответствовать координатам точек M, С, В, А соответственно. По теореме о точке пересечения медиан треугольника

Так как

то, подставив эти разности

в наше равенство, получим:

или

или

т. к.

Следовательно,

или,

Доказано.